强连通分量

强连通分量

目录

• 基本概念

• \(Kosaraju\)算法

• \(Tarjan\)算法

• 例题讲解

• 题目推荐

• 学习资源

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基本概念

• 连通图

在无向图中，从任意点\(i\)可以到达任意点\(j\)

• 强连通图

在有向图中，从任意点\(i\)可以到达任意点\(j\)

• 弱连通图（了解即可）

人为地将有向图看做无向图后，从任意点\(i\)可以到达任意点\(j\)

• 极大强连通子图

\(G\)是一个极大强连通子图，当且仅当\(G\)是一个强连通子图且不存在另一个强连通子图\(G'\)，使得\(G\)是\(G'\)的真子集

• 强连通分量

有向非强连通图的极大强连通子图

因为来现实生活中有意义的强连通图很少，所以一般讨论的都是强连通分量

若将有向图中的强连通分量都缩为一个点，则原图就会变成一个DAG（有向无环图），如下图（1）-图（2）所示：

图（1）

图（2）

来讲（啰嗦 ）一下，因为强连通分量相当于环啊，将环缩为点之后那就是无环图咯，这个很好想，证明的话反证法即可

• 强连通分量的应用

1. 有向图的缩点：见上图示

2. 解决\(2-SAT\)问题（还没学....之后更新啊qwq）

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\(Kosaraju\)算法

基于两次\(DFS\)的有向图强连通分量算法，时间复杂度为\(O(n+m)\)

• 算法框架

1. 对原图\(G\)进行\(DFS\)，记录每个节点访问完的顺序\(dfn[i]\)并将点压入栈中

2. 选择最晚访问完的节点对\(G\)的反向图进行第二次\(DFS\)，删除能够遍历到的节点，每次遍历到的一坨（或一个）节点构成一个强连通分量

3. 一直执行\(（2）\)操作，直到所有节点都二次遍历完

• 例子图示

第一次\(DFS\)顺序：\(3->2->1->4\) （栈！）

第二次\(DFS\)顺序：\(4,2->1,3\) （一个逗号前为一个强连通分量）

• 代码函数段

个人认为比接下来的\(Tarjan\)好理解，但是使用的更多的还是扩展性更强的\(Tarjan\)

inline void dfs1(int x) {
    vis[x]=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]&&map[x][i]) dfs1(i);
        dfn[++t]=x;
    }
}

inline void dfs2(int x) {
    vis[x]=t;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(!vis[x]&&map[i][x]) dfs2(i);
    }
}

inline void ko() {
    t=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) dfs1(i);
    }
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    t=0;
    for(register int i=n;i>=1;i--) {
        if(!vis[dfn[i]]) {
            t++;
            dfs2(dfn[i]);
        }
    }
}

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\(Tarjan\)算法

基于一次\(DFS\)的算法，时间复杂度也是\(O(n+m)\)

和\(kosaraju\)算法的\(DFS\)不同，\(Tarjan\)的\(DFS\)更类似于树的后序遍历

上图理解吧：

（图片截屏自我的学习视频，在文章最后会贴上，侵删！）

至于很多博客讲的四种边（树枝边、前向边、后向边、横叉边），我个人认为是没有必要掌握的，了解一下就可以了

• 所需变量

1. \(dfn[i]\)：表示节点\(i\)的遍历顺序（同\(Kosaraju\)算法）

2. \(low[i]\)：表示节点\(i\)可回溯到的最早遍历时间（初始与\(dfn[i]\)一致）

3. \(fir[i]=x\)：表示节点\(i\)和节点\(x\)同属于一个强连通分量

4. \(q[top]\)：手写栈qwq

5. 以及一啪啦的变量（可麻烦了）

• 算法框架

设当前点为\(x\)

1. 初始\(dfn[x]\)=\(low[x]\)=\(++ti\)（时间戳）

2. 入栈当前点并标记为访问过

3. 遍历与\(x\)相连的点，进行下一层的\(DFS\)，然后更新\(low[x]\)

4. 遍历完后，如果当前\(x\)的\(dfn\)==\(low\)，则可以弹出一个强连通分量了

可能有点抽象，如果不好理解，可以先跳到文末点击视频链接，里面讲得敲详细qwq

• 代码实现

以下代码是根据洛谷P3387 【模板】缩点 这道题编的，大家注意区分啊

另外，下面这份代码涉及到的拓扑排序，有兴趣的可以看我的另一篇博客

（PS：变量申请那块奇丑...轻喷）

#include 
using namespace std;
int n,m,u,v,tot,ans,a[520010],in[520010],fir[520010],head[520010];
int ti,top,num,q[520010],vis[520010],dis[520010],sum[520010],dfn[520010],low[520010];

struct node {  
	int to,net,fro;
} e[520010],es[520010];

inline void add(int u,int v) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].fro=u;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline void tarjan(int x) {
	dfn[x]=low[x]=++ti;
	q[++top]=x;
	vis[x]=1;
	for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
		}
		else {
			if(vis[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);
		}
	}
	if(low[x]==dfn[x]) {
		int v=q[top];
		while(top) {
			fir[v]=x;
			vis[v]=0;
			if(v==x) {
				top--;
				break;
			}
			a[x]+=a[v];
			v=q[--top];
		}
	}
}

inline void topo() {  //拓扑排序求最长路
	queue q;
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		dis[i]=a[i];
		if(!in[i]&&fir[i]==i) q.push(i);
	}
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(register int i=head[x];i;i=es[i].net) {
			int v=es[i].to;
			dis[v]=max(dis[v],dis[x]+a[v]);
			if(--in[v]==0) q.push(v);
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}
	tot=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis)); 
	memset(head,0,sizeof(head));
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		u=fir[e[i].fro];
		v=fir[e[i].to];
		if(u!=v) {
			in[v]++;
			es[++tot].to=v;
			es[tot].net=head[u];
			es[tot].fro=u;
			head[u]=tot;
		}
	}
	topo();
	for(register int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dis[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

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例题讲解

洛谷P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G

个人认为很模板的题，思路稍微转换一下就出来了，写个小题解当做例题讲解qwq

• 分析

奶牛们之间的喜爱是单向的、可传递的，那么将文字描述抽象一下，即：

奶牛们是点，喜爱关系是单向边，整个关系则构成了有向图

相互喜爱的一群牛组成一个集合，则\(N\)头牛可以划分为\(S\)个集合（缩点的思想，缩环为点）

集合与集合之间也存在喜爱关系，则原图就转化为了DAG（有向无环图）

这个时候我们就需要思考一下：到底什么样的牛是所有牛喜欢的那个？

显然：是出度为\(0\)的集合中的牛

为什么？因为出度为\(0\)则说明这个集合不喜爱其他的牛，则满足所有牛都喜欢这头牛（有点绕，画一下图会好一点，作者懒不想画了QAQ）

由此，我们就将问题转换为了：缩点，然后求出度为\(0\)的点

现在给出以上思路的\(AC\)程序：

#include 
using namespace std;
int n,m,u,v,tot,num,out[520010],sum[520010],head[520010];
int ti,top,q[520010],val[520010],fir[520010],vis[520010],dfn[520010],low[520010];

struct node {
	int to,net,fro;
} e[520010];

inline void add(int u,int v) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].fro=u;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline void tarjan(int x) {
	dfn[x]=low[x]=++ti;
	q[++top]=x;
	vis[x]=1;
	for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
		}
		else {
			if(vis[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);
		}
	}
	if(low[x]==dfn[x]) {
		int v=q[top];
		while(top) {
			fir[v]=x;
			vis[v]=0;
			if(v==x) {
				top--;
				break;
			}
			val[x]+=val[v];
			v=q[--top];
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;i++) val[i]=1;
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		u=fir[e[i].fro];
		v=fir[e[i].to];
		if(u!=v) out[u]++;
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(!out[i]&&fir[i]==i) {
			sum[++num]=val[i];
		}
	}
	if(num==1) printf("%d",sum[num]);
	else if(num>=2) puts("0");
	return 0;
}

PS：以下内容为我的无脑暴力骗分代码，可以跳过（52\(pts\)真香）

#include 
using namespace std;
int n,m,u,v,sum,flag;
int in[520010],out[520010];

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		out[u]++;
		in[v]++;
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(out[i]==0) sum++;
	}
	if(sum==1) printf("1");
	else if(sum>=2) printf("0");
	else if(sum==0){
		for(register int i=1;i<=n;i++) {
			if(out[i]!=in[i]) {
				flag=true;
				break;
			}
		}
		if(flag==false) printf("%d",n);
	}
	return 0;
}

例题讲解（正文）完毕~~

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学习资料

1. \(B\)站学习视频，讲得真的很清晰，适合初学者

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