为什么u(t)与1的拉普拉兹变换都是1/s

如何解释u(t)与1的拉普拉兹变换都是1/s

一、问题发现

通过matlab求解拉普拉兹变换我们可以发现，无论是单位阶跃函数1还是常数1它的拉普拉兹变换都是1/s，而1/s的拉普拉兹逆变换却是常数1，并不是单位阶跃函数。那么问题来了时域的不同函数，为什么映射到s域是同一个函数。

通过拉普拉兹正变换的公式，我们很容易发现，常数1的s域变换是不存在的，因为它在实数域上不收敛。于是我们推测，matlab将常数1与u(t)看作了同一个函数，也就是得出的结果1就是u(t)为了证实这一猜想，我们使用拉普拉兹逆变换来寻求答案。

二、推导过程

• 知识准备
  

1. 通过查阅资料，我们可以获得拉普拉兹逆变换的公式如下：
   $$L{T}^{-1}(\frac{1}{s})=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -Rj}^{\sigma +Rj}\frac{e^{st}}{s}ds其中R\to +\infty$$

2. 为了求出该积分的结果，我们先令：
   $${\int }_{\sigma -Rj}^{\sigma +Rj}\frac{e^{st}}{s}ds=g(t)$$

3. 我们发现被积函数具有奇点，我们通过复变函数的知识构建一个闭合回路，包裹奇点，复数域积分回路如下图，我们令r→∞且R→∞即可求得积分值g(t)：
   

4. 这时候沿着A→B→C→D→A的积分，就等效于被积函数零点处的“留数”，故存在等式：
   $$g(t)|AB+{\int }_{\sigma +Rj}^{-r+Rj}\frac{e^{st}}{s}ds|BC+{\int }_{-r-Rj}^{\sigma -Rj}\frac{e^{st}}{s}ds|DA+{\int }_{-r+Rj}^{-r-Rj}\frac{e^{st}}{s}ds|CD=2\pi i\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f(t),0)$$

5. 对中间两项BC与DA积分进行变量替换可以得到：
   $${{\int }_{-r}^{\sigma }-\frac{e^{(x+Rj)t}}{x+Rj}dx|}_{x=s-Rj}+{{\int }_{-r}^{\sigma }\frac{e^{(x-Rj)t}}{x-Rj}dx|}_{x=s+Rj}$$

6. 合并后我们可以发现：
   $${\int }_{-r}^{\sigma }\frac{(x+Rj)e^{(x-Rj)t}-(x-Rj)e^{(x+Rj)t}}{x^2+R^2}dx$$

7. 当R→∞时，被积函数趋向于0：
   $$\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{(x+Rj)e^{(x-Rj)t}-(x-Rj)e^{(x+Rj)t}}{x^2+R^2}=0$$

8. 所以原积分值为0，步骤4中公式变为：
   $$g(t)-{\int }_{-r+Rj}^{-r-Rj}\frac{e^{st}}{s}ds=2\pi i\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f(t),0)$$

9. 由于s=σ+jw由积分上下限可以知道，σ为常数-r，因此CD积分可化简为：
   $${\int }_{-r+Rj}^{-r-Rj}\frac{e^{st}}{s}ds=-{\int }_{-R}^R\frac{e^{-rt}(\cos (wt)+j\sin (wt))j}{-r+wt}dw$$

10. 当r→∞时，被积函数也为0，所以CD积分为0：
    $$\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{e^{-rt}(\cos (wt)+j\sin (wt))j}{-r+wt}=0$$

11. 这样我们就得到了，积分g(t)的值：
    $$g(t)=2\pi i\underset{s\to 0}{\lim }sf(s)=2\pi i$$

12. 带入第一个式子就得到了：
    $$L{T}^{-1}(\frac{1}{s})=1$$

13. 确实得到了常数1，但是常数1的拉普拉兹双边正变换确实是不存在的，这是为什么呢。

三、问题解释

• 这个问题主要来自于，当我们进行上述推导时，已经默认了t≥0了，何以见得？

• 在第10步推导中，"当r→∞时，被积函数也为0"这句话成立的前提，就是t不能为负数，一旦t<0，通过洛必达法则我们就可以推知，被积函数是趋于负无穷的，g(t)的积分也就趋于正无穷，积分是不存在的，因此g(t)积分存在的前提就是t≥0这是在课本中没有提及的内容。

• 所以结论就是，这里的常数1指代的就是u(t)