裴蜀定理（贝祖定理） 证明与应用

定理：对于给定的正整数a，b，方程有解的充要条件为c是gcd（a，b）的整数倍

证明：

充分性证明：

设gcd（a，b）=d，于是设，其中k1，k2互质

那么原等式等价于，即，其中k1，k2互质

那么这个方程等价于模线性方程，由拓展gcd知，该方程一定有解

那么该方程的一组解即为原方程的解

必要性证明：

采用反证法，假设c不是gcd（a，b）的倍数，于是：

设

那么：

两边同时除以d，有：

由于k1,x,k2,y,k3均为整数，而显然不是整数，故原方程无解

这与方程有解矛盾，故c一定为gcd(a,b)的倍数

定理的推广：

方程（其中a,b,c...n,f为整数）有解的充要条件是f为gcd（a,b,c,...,n）的整数倍

定理的应用：

给定一个序列{an}，求一个整数序列{bn}使得值最小（要求最小值为正数），求这个最小值

解：根据裴蜀定理的推广，原式最小值即为gcd(a1,a2...an)

代码（luogu4549）：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n;
int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)
    {
        return x;
    }
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
//  freopen("min.in","r",stdin);
//  freopen("min.out","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  int ans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      int x;
      scanf("%d",&x);
      x=abs(x);
      if(x==0)
      {
      	continue;
      }
      ans=gcd(x,ans);
    }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}