A*算法浅谈

A*是一种搜索，对，一种启(xuan)发(xue)式搜索。

说到搜索，还是得先说最基本的搜索：深搜和广搜。深搜的好处是时间快，但是不一定能求出最优解；而广搜确实可以求出最优解，但由于广搜是一层层搜下去的，必须扩展每一个点，所以时间效率和空间效率都不高。而A*算法恰可以解决这两个缺点：既有极大概率求出最优解，又可以减少冗余的时间。（为什么是极大概率，这个下面会讲）

那么A是怎么实现的呢？A的实现靠的是一个估价函数。我们先简写一个公式：f(n)=g(n)+h(n)

其中f[n]是 是从初始状态经由状态n到目标状态的代价估计，g(n)是从初始到n的实际代价，而h(n)是从n到目标状态的估计代价。比如我们从如图S点到T点进行广搜，那么通过我们的估价函数，我们就可以排除S以左的点，（因为我们估计要A步，那么很显然走S以左的点，最终会大于A步，所以直接排除）这样就可以减去广搜的大量冗余，提高时间效率。

那为什么说是有极大概率对呢？因为我们不可能完全准确的预估h(n)，我们估计的h(n)可能会有偏差：如果h(n)刚好等于实际的代价v(n)，那一路下去，肯定就是最优的解，而且基本不用扩展其他的点；如果h(n)偏小了，我们的效率会降低，举一个极端例子，当h(n)=0，则f(n)=g(n)，那就是最普通的广搜了；如果h(n)偏大了，时间的效率会大大增加，但是这样会让我们的搜索接近与深搜而可能不能获取最优解。

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附上代码：

#include
using namespace std;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int ans[5][5]={
    {1,1,1,1,1},
    {0,1,1,1,1},
    {0,0,2,1,1},
    {0,0,0,0,1},
    {0,0,0,0,0},
};
int n,k;
string s;
int f[5][5],flag,px,py;
int u[8]={1,1,-1,-1,2,2,-2,-2};
int q[8]={2,-2,2,-2,1,-1,1,-1};
int check(){
    for(int i=0;i<=4;i++)
     for(int j=0;j<=4;j++) if(f[i][j]!=ans[i][j]) return 0; 
    return 1;
}
int A_STAR(int x){
    int v=0;
    for(int i=0;i<=4;i++)
     for(int j=0;j<=4;j++)
       if(f[i][j]!=ans[i][j]){
        v++;if(v+x>k) return 0;
       } 
    return 1;  
}
void dfs(int v,int x,int y){
    if(v==k)
      {if(check())flag=1;return;}
    if(flag) return;
    for(int i=0;i<8;i++){
        int gx=x+u[i],gy=y+q[i];
        if(gx<0||gx>4||gy<0||gy>4) continue;
        swap(f[x][y],f[gx][gy]);
        if(A_STAR(v)) dfs(v+1,gx,gy);
        swap(f[x][y],f[gx][gy]);
    }
}
int main()
{
    n=read();
    while(n--){
        memset(f,0,sizeof(f));flag=0;
        for(int i=1;i<=5;i++){
            cin>>s;
            for(int j=0;j<5;j++){
                if(s[j]=='*') f[i-1][j]=2,px=i-1,py=j;
                else f[i-1][j]=s[j]-'0';
            } 
        }
        for(k=1;k<=15;k++){
            dfs(0,px,py);
            if(flag){
                printf("%d\n",k);break;
            }
        }
        if(!flag) puts("-1");
    }
    return 0;
}