[Luogu P2503] [HAOI2006] 均分数据

洛谷传送门

题目描述

已知N个正整数：A1、A2、……、An 。今要将它们分成M组，使得各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小。均方差公式如下：

$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^M(x_i-\overline{x})}{M}}$$

$$\overline{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^M{x}_i}{M}$$

,其中σ为均方差，$\overline{x}$是各组数据和的平均值，$x_i$为第i组数据的数值和。

输入输出格式

输入格式：

输入文件data.in包括：

第一行是两个整数，表示N,M的值（N是整数个数，M是要分成的组数）

第二行有N个整数，表示A1、A2、……、An。整数的范围是1–50。

（同一行的整数间用空格分开）

输出格式：

输出文件data.out包括一行，这一行只包含一个数，表示最小均方差的值(保留小数点后两位数字)。

输入输出样例

#输入样例1

6 3
1 2 3 4 5 6

#输出样例1

0.00

博主的第一反应：这不是贪心吗？于是写了一个玄学暴力程序：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define db double
#define gc getchar()
#define EPS 1e-8
using namespace std;
multiset <int> st;
multiset <int> :: iterator it, itt;
int data[100];
int empty = 0;
db va[100], tott, ave;
int main()
{
    db minn = 1e60;
    srand(time(0));
    int num, div;
    scanf("%d%d", &num, &div);
    for (R int i = 1; i <= num; ++i) scanf("%d", &data[i]), ave += data[i];
    ave /= div;
    int time = 150000;
    R int value, cnt;
    W (time--)
    {
        st.clear();
        for (R int i = 1; i <= div; ++i) st.insert(empty);
        random_shuffle(data + 1, data + 1 + num);
        for (R int i = 1; i <= num; ++i)
        {
            it = st.begin();
            value = *it ;
            value += data[i];
            st.erase(it);
            st.insert(value);
        }
        int top = 0;
        for (it = st.begin(); it != st.end(); ++it)
        {
            top += (*it - ave) * (*it - ave);
        }
        if(top < minn) minn = top;
    }
    printf("%.2lf", sqrt(minn / div));
    return 0;
}

然后成功地苟到了20分…

反过来思考一下， 如此暴力用到了set， 使得每次操作都带了一个log， 不利于大范围枚举， 并且只靠random_shuffle进行重新排列每次需要O(N)的时间， 十分浪费时间， 并且不可能枚举到所有情况。于是我们用到了更优的算法——退火算法。

退火算法也是一种玄学的随机算法。先将数据随机分配到每一组中， 再随时间随机调整。 开始时允许向局部次优解移动， 随时间的推移逐渐接近最优解， 此时将判定条件逐渐变得严格， 使解逐渐趋于最优解。这道题中我们通过调整移动数据的条件来限制解的移动， 具体见代码…

# include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define R register
#define W while
#define IN inline
#define gc getchar()
#define db double
#define MX 105
int data[MX], tot[MX], id[MX];
db ans, minn = 1e60, now, bound, tim, aver;
int dot, dv, pos, belong, tar;
int main()
{
  srand(20020220);
  scanf("%d%d", &dot, &dv);
  for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
  {
  	scanf("%d", &data[i]);
  	aver += data[i];
  }
  aver /= (double) dv;
  tim = 10000;
  W (tim--)
  {
  	memset(tot, 0, sizeof(tot));
  	ans = 0;
  	for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
  	{
  		id[i] = rand() % dv + 1;
  		tot[id[i]] += data[i];
  	}
  	for (R int i = 1; i <= dv; ++i)
  	{ans += (aver - tot[i]) * (aver - tot[i]);}
  	bound = 10000;
  	W (bound > 0.01)
  	{
  		bound *= 0.9;
  		pos = rand() % dot + 1;
  		belong = id[pos];
  		if(bound > 500) tar = min_element(tot + 1, tot + 1 + dv) - tot;
  		now = ans;
  		now -= (tot[belong] - aver) * (tot[belong] - aver);
  		now -= (tot[tar] - aver) * (tot[tar] - aver);
  		tot[belong] -= data[pos];
  		tot[tar] += data[pos];
  		now += (tot[belong] - aver) * (tot[belong] - aver);
  		now += (tot[tar] - aver) * (tot[tar] - aver);
  		if(now < ans) ans = now, id[pos] = tar;
  		else if (rand() % 10000 > bound)
  		{
  			tot[belong] += data[pos];
  			tot[tar] -= data[pos];
  		}
  		else
  		{
  			ans = now, id[pos] = tar;
  		}
  	}
  	minn = min(ans, minn);
  }
  printf("%.2lf", sqrt(minn / dv));
  return 0;
}

这样还是拿不到满分…不过将退火时间变长即可AC233

退火算法坑点：

1. 尽量加大退火时间或起始温度， 通过更多次数的交换比较加大达到最优解的几率，时间若不够可掐表。
2. 一个好的随机种子是成功的一半！可选取玄学数字例如19260817（实测效果并不优秀）， 19491001， 233 …