[数字逻辑] 全加器的多种电路设计方案

0x00 全加器

全加器是根据被加数$A_i$、加数$B_i$与低位进位$C_{i-1}$计算出本位和$S_i$与进位$C_i$。其真值表如下：

$A_i$	$B_i$	$C_{i-1}$	$S_i$	$C_i$
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

0x01 与非门、异或门

通过真值表，我们可以化简得到以下两条逻辑表达式：
$S_i=A_i\oplus B_i\oplus C_{i-1}$
$C_i=\overline{\overline{(A_i\oplus B_i)C_{i-1}}\cdot \overline{A_i{B}_i}}$
根据表达式可以构建使用与非门以及异或门组成的全加器：

总计5个门电路，其中2个双输入异或门，3个双输入与非门，可以使用74LS86与74LS00。这是使用基础门电路实现全加器最简单的方案之一。

0x02 与非门

异或门可以使用4个与非门来实现，我们只需要对上文中的异或门进行替换便可：
$A\oplus B=A\overline{B}+\overline{A}B=A\overline{AB}+\overline{AB}B=\overline{A\overline{AB}\cdot \overline{AB}B}$
替换后的逻辑表达式为：
$A_i\oplus B_i=\overline{\overline{\overline{A_i{B}_i}\cdot A_i}\cdot \overline{\overline{A_i{B}_i}\cdot B_i}}$
$S_i=\overline{\overline{\overline{A_i\oplus B_i\cdot C_{i-1}}\cdot C_{i-1}}\cdot \overline{\overline{A_i\oplus B_i\cdot C_{i-1}}\cdot A_i\oplus B_i}}$
$C_i=\overline{\overline{A_i\oplus B_i\cdot C_{i-1}}\cdot \overline{A_i{B}_i}}$
根据这一逻辑表达式，我们可以先在电路中使用4个与非门求出异或，再使用异或的结果进行下一步计算，所做电路图如下：

只需要使用与非门74LS00。

0x03 二位二进制译码器

通过真值表，可以轻松得到以下两条逻辑表达式：
$C_i=\overline{\overline{m_3}\cdot \overline{m_5}\cdot \overline{m_6}\cdot \overline{m_7}}$
$S_i=\overline{\overline{m_1}\cdot \overline{m_2}\cdot \overline{m_4}\cdot \overline{m_7}}$
译码器第$i$个位置输出的值为$\overline{m_i}$，只需要将对应的输出再进行一次与非即可。
对应的使用二位二进制译码器的电路如下：

需要使用到二位二进制译码器74139与四输入与非门74LS20以及二输入与非门74LS00。

0x04 四选一多路选择器

$S_i=\overline{A_i}\cdot \overline{B_i}\cdot C_{i-1}+\overline{A_i}\cdot B_i\cdot \overline{C_{i-1}}+A_i\cdot \overline{B_i}\cdot \overline{C_{i-1}}+A_i\cdot B_i\cdot C_{i-1}$
$C_i=\overline{A_i}\cdot \overline{B_i}\cdot 0+\overline{A_i}\cdot B_i\cdot C_{i-1}+A_i\cdot \overline{B_i}\cdot C_{i-1}+A_i\cdot B_i\cdot 1$
四选一多路选择器会根据$i=B\ast 2+A$选择第$i$个输入作为输出，合理利用这一特性，做出的电路图如下：

需要使用四选一多路选择器74153以及二输入与非门74LS00。

0x05 电路图附件

所使用的设计软件为Quartus II 8.1。
https://pan.baidu.com/s/1HR0s8n8dPrir12pvIMcnpQ （提取码: s4er）