Gamma/伽马函数，伽马分布

一。$\Gamma$分布

指数分布是两次事件发生的时间间隔
$\Gamma$分布是n倍的指数分布
即，$\Gamma$分布表示发生n次（$\alpha$次）事件的时间间隔的概率分布。

其实 $\Gamma$分布 就是Possion分布在正实数集上的连续化版本

$Possion(X=k|\lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

可以看做横坐标是k，纵坐标便是X=k的概率分布：$Possion(X=k|\lambda$)，$\lambda$为一个常数，代表单位时间内事件发生的次数。

回忆一下Poisson分布的直观含义：
随机变量X代表出生婴儿的个数，P {X=k} 代表出生k个婴儿的概率，
$\lambda$为已知数，代表平均单位时间出生婴儿的个数。
求t时间内出生k个婴儿的概率：P {X=k} ，令t=1，就是
这个公式 $Possion(X=k|\lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$
因此Possion公式的直观意义就是：
已知单位时间内平均出生$\lambda$个婴儿， 得到单位时间内出生k个婴儿的概率。
如果将k看成是一个变量， Possion公式就是单位时间内出生婴儿个数的概率分布。
直观理解，当然是单位时间出生$\lambda$个婴儿的概率最大。

$在Poisson分布中，\lambda 是一个已知数，是一个常数，$
$如果我们把\lambda 看成一个变数，假设是x$
$那么得到的分布就叫Gamma分布$，显然Gamma比Poisson更高一维的分布。

$=>将\lambda 转为一个连续实数x$

在Gamma分布的密度中取$\alpha =k+1$，得

$Gamma(x|\alpha =k+1)=\frac{x^k{e}^{-x}}{\Gamma (k+1)}=\frac{x^k{e}^{-x}}{k!}$

$Gamma(x,k)=\frac{x^k{e}^{-x}}{k!}$

由此可见，Gamma函数是一个关于x和k的二维概率分布。x是单位时间内事件发生的平均次数，k是单位时间内事件发生的某一特定次数，得到类似于下图，可见，它是一个指数分布，k与越接近，概率越大，在k与x相等的地方，概率达最大值。（如果将x固定一个常数，就是Poisson分布。）

所以，Gamma分布与Possion分布在数学形式上是一致的，只是Poisson分布是离散的，Gamma分布是连续的，可以直观的认为Gamma分布是Poission分布在正实数集上的连续化版本。

二。$\Gamma$函数
定义
$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx(s>0)$

性质

1. s>0时，此反常积分收敛
2. $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)(s>0)$，特别$\Gamma (n+1)=n!$
   3)当$s\to 0+$时，$\Gamma (s)\to +\infty$
3. $\Gamma (s)\Gamma (1-s)$=$\frac{\pi }{sin\pi s}(0<s<1),则\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

$\Gamma(n) = (n-1)! $ ， Gamma(5+1) = 5! =120
$\Gamma(s) = (s-1)! $ ， 5Gamma(5) = 54! =120

三。$\Gamma$函数应用
$k!={\int }_0^{\infty }{x}^k{e}^{-x}dx$

在$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$ 中，
作x=u^2的代换可得
$\Gamma (s)=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2}{u}^{2s-1}du$
再令 t=2s-1，即有
${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2}{u}^{t}du$ = $\frac{1}{2}\Gamma (\frac{1+t}{2})$, t>-1
特别，令 $s=\frac{1}{2}$， 可得概率论中常用积分

泊松积分
泊松积分：${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ 是一个很重要的结论，在概率论中有重要应用。
${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$
${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$
（可以用正态分布的公式证明，正态分布公式 $\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=1$）

参考链接：
Gamma分布Wiki百科
poisson-gamma-exponential 泊松-Gamma以及指数分布的关系
Gamma distribution in R语言
MATLAB Gamma
神奇的Gamma函数（scipy）