线性变换与矩阵的一一映射

函数定义

对于有限维（维度为 n n ）线性空间 V V 与 V V 上的一组基 ξ, ξ ,
定义全体 V V 上的线性变换到全体元素属于数域 P P 的 n×n n × n 矩阵的函数 F F ：
对于任意一个 V V 上的线性变换 f, f , 对于任意一个元素属于数域 P P 的 n×n n × n 矩阵 A=(α1,⋯,αn), A = ( α 1 , ⋯ , α n ) ,
F(f)=A, F ( f ) = A , 当且仅当：
f(ξ)=f(ξ1,⋯,ξn)=(f(ξ1),⋯,f(ξn))=(ξα1,⋯,ξαn)=ξA f ( ξ ) = f ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) = ( f ( ξ 1 ) , ⋯ , f ( ξ n ) ) = ( ξ α 1 , ⋯ , ξ α n ) = ξ A
其中 f(ξj)=∑i=1naijξi=ξαj f ( ξ j ) = ∑ i = 1 n a i j ξ i = ξ α j

性质

1. 由于 ξ ξ 是 V V 上的一组基，因此对于任意一个 f, f , 都存在一个 A A 满足条件，且是唯一的。
2. A A 的第 j j 列 αj α j 就是 f(ξj) f ( ξ j ) 在 ξ ξ 上的坐标。
3. 对于任意一个 V V 上的向量 α, α , 存在唯一的 X∈Pn, X ∈ P n , 使得 α=ξX, α = ξ X , 且
   f(α)=f(ξX)=f(∑j=1nxjξj) f ( α ) = f ( ξ X ) = f ( ∑ j = 1 n x j ξ j )
   =∑j=1nxjf(ξj)=f(ξ)X=ξAX=ξF(f)X = ∑ j = 1 n x j f ( ξ j ) = f ( ξ ) X = ξ A X = ξ F ( f ) X
4. F F 是单射，即：
   对于任意两个 V V 上的线性变换 f f 和 g,F(f)=F(g)⇒f=g g , F ( f ) = F ( g ) ⇒ f = g
   证明
   对于任意一个 V V 上的向量 α, α , 存在唯一的 X∈Pn, X ∈ P n , 使得 α=ξX, α = ξ X , 则
   
   f(α)=ξF(f)Xg(α)=ξF(g)XF(f)=F(g)⎫⎭⎬⎪⎪⇒f(α)=g(α)(2) (2) f ( α ) = ξ F ( f ) X g ( α ) = ξ F ( g ) X F ( f ) = F ( g ) } ⇒ f ( α ) = g ( α )
5. F F 是满射，即：
   对于任意一个元素属于数域 P P 的 n×n n × n 矩阵 A, A , 存在 V V 上的一个线性变换 f, f , 使得 F(f)=A F ( f ) = A
   证明
   定义函数 f: f :
   对于任意一个 V V 上的向量 α,f(α)=ξAX α , f ( α ) = ξ A X 当且仅当存在 X∈Pn, X ∈ P n , 使得 α=ξX α = ξ X 。
   由于 ξ ξ 是 V V 上的一组基，因此存在 X∈Pn X ∈ P n 满足条件，且 X X 是唯一的。因此 f f 是一个函数。
   接下来证明 f f 是 V V 上的一个线性变换：
   f(α+β)=f(ξX+ξY)=f(ξ(X+Y))=ξA(X+Y)=ξAX+ξAY=f(α)+f(β) f ( α + β ) = f ( ξ X + ξ Y ) = f ( ξ ( X + Y ) ) = ξ A ( X + Y ) = ξ A X + ξ A Y = f ( α ) + f ( β )
   f(kα)=f(kξX)=f(ξ(kX))=ξA(kX)=k(ξAX)=kf(α) f ( k α ) = f ( k ξ X ) = f ( ξ ( k X ) ) = ξ A ( k X ) = k ( ξ A X ) = k f ( α )
6. F(f+g)=F(f)+F(g) F ( f + g ) = F ( f ) + F ( g )
   证明
   设 F(f)=A=(α1,⋯,αn),F(g)=B=(β1,⋯,βn), F ( f ) = A = ( α 1 , ⋯ , α n ) , F ( g ) = B = ( β 1 , ⋯ , β n ) , 则
   (f+g)(ξj)=f(ξj)+g(ξj)=ξαj+ξβj ( f + g ) ( ξ j ) = f ( ξ j ) + g ( ξ j ) = ξ α j + ξ β j
   =ξ(αj+βj),j∈N,1≤j≤n = ξ ( α j + β j ) , j ∈ N , 1 ≤ j ≤ n 。
7. F(kf)=kF(f) F ( k f ) = k F ( f )
   证明
   设 F(f)=A=(α1,⋯,αn), F ( f ) = A = ( α 1 , ⋯ , α n ) , 则
   (kf)(ξj)=(kf)(ξj)=k(f(ξj))=k(f(ξj))=k(ξαj)=ξ(kαj),j∈N,1≤j≤n ( k f ) ( ξ j ) = ( k f ) ( ξ j ) = k ( f ( ξ j ) ) = k ( f ( ξ j ) ) = k ( ξ α j ) = ξ ( k α j ) , j ∈ N , 1 ≤ j ≤ n
8. F(f∘g)=F(f)F(g) F ( f ∘ g ) = F ( f ) F ( g )
   证明
   设 F(f)=A=(α1,⋯,αn),F(g)=B=(β1,⋯,βn), F ( f ) = A = ( α 1 , ⋯ , α n ) , F ( g ) = B = ( β 1 , ⋯ , β n ) , 则
   (f∘g)(ξj)=f(g(ξj))=f(ξβj)=ξAβj, ( f ∘ g ) ( ξ j ) = f ( g ( ξ j ) ) = f ( ξ β j ) = ξ A β j ,
   j∈N,1≤j≤n j ∈ N , 1 ≤ j ≤ n
9. 若线性变换 f f 可逆，则 F(f−1)=(F(f))−1 F ( f − 1 ) = ( F ( f ) ) − 1
   证明
   F(f)F(f−1)=F(f∘f−1)=F(I)=E F ( f ) F ( f − 1 ) = F ( f ∘ f − 1 ) = F ( I ) = E