最小树形图

 

     前几天为了UVa的一道题不得不重写了一个最小树形图O(VE)的模板，原先的是邻接矩阵版，所以复杂度是O(V^3)的。我的计划就是学/复习一个算法就 写一个总结上来，最后能逐渐的把我的学习经历记录一下。当然把其中一些理解写出来的话也会更加的深刻，或许还能帮到某些人，不是么，呵呵。
最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点v，求一棵有向生成树T，使得该有向树的根为v，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以 证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在 该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

最小树形图的总结到此为止了。目前为止发现的有OJ可交的最小树形图总共有3道题，分别是UVa 11183 Teen Girl Squad , TJU 2248 Channel Design , PKU 3164 Command Network 。其中UVa的题V = 1000, E = 40000，PKU和TJU是V = 100, E = 10000。在PKU/TJU下，由于数据范围的限制，采用O(V^3)的邻接矩阵会比O(VE)的邻接表快，而UVa的题显然只能用O(VE)的树形图算法了。

Minimum Spanning Tree: Chu-Liu/Edmonds Algorithm

Chu-Liu/Edmonds Algorithm

Chu-Liu/Edmonds Algorithm 用來求出有向圖的其中一棵最小生成樹（或者最大生成樹）。

 

想法

一棵生成樹上每一個點，都僅有一條入邊（除了根以外）。要找生成樹，圖上每一個點，都必須找到一條入邊（但不會是自己連向自己的入邊）。

既然要找最小生成樹，當然就是找權重越小的邊越好囉。每一個點（除了根以外）各自找到權重最小的入邊之後，有可能就剛好是一棵最小生成樹了，但是也有可能形成幾隻水母。

水母（沒有正式名稱，因為像水母就把它叫做水母）

由於每個點都僅有一條入邊，如果形成環，環上一定只有出邊，不會有入邊。每個點都僅有一條入邊，除了剛好形成一棵樹以外，要不就是形成水母──一只環再加上環上的點各是一棵樹的樹根，或者說是很多棵樹的樹根用環串起。

 

水母與最小生成樹

 

最小生成樹不得有環，所以水母是不合格的。然而水母是權重最小的連接方式，若有一棵恰當的最小生成樹，其權重會稍高於水母。

一、改變水母環上的邊，讓水母變成一棵樹。儘管整體權重稍微變大，但仍可接受。

二、改變水母觸手上的邊，並沒有比較好。不但讓整體權重變大，而且水母環仍舊存在，並沒有解決掉不合格的問題。

得到結論：只需要嘗試打開水母環上的邊就行了。打開邊的時候，要同時考慮新連入的邊的權重，以及被取消的邊的權重。選擇差值最小者，可讓總權重增加最小。進入水母環的邊全部都看過一遍後，就能選出差值最小者。

 

 

連入水母環的邊

 

根據 Kruskal's Algorithm 提到的最小生成樹相連性質，可以知道連接多隻水母，就和連接多棵最小生成樹的道理是一樣的，以權重小的邊來連接是最好的。唯一不同的是， Kruskal's Algorithm 一旦發現造成環的邊，就直接捨棄； Chu-Liu/Edmonds Algorithm 則是留下造成環的邊（形成水母），並且嘗試各種打開環的方式。

 

 

演算法

1. 刪去所有自己連向自己的入邊。

2. 重複以下步驟，直到形成生成樹為止：

　甲、找出圖上每個點的最小入邊。O(E)

　　　如果有兩個點以上找不到入邊，則表示生成樹不存在。

　　　（找不到入邊的點可作為生成樹樹根）

　乙、找出所有水母。如果沒有水母就表示目前已是最小生成樹。O(V)

　丙、調整所有進入水母環的邊的權重。O(E)

　　　w(a, x) -= w(å, x)，åx是x點的最小入邊，ax為其他連入x點的邊。

　丁、收縮水母環成為一點。O(E)

如果要固定樹根的話：

1. 刪去所有自己連向自己的入邊。

2. 移除樹根的全部入邊。

3. 判斷樹根能不能連到圖上各個點，否則生成樹不存在。

4. 重複以下步驟，直到形成生成樹為止：

　甲、找出圖上每個點的最小入邊。O(E)

　乙、找出所有水母。如果沒有水母就表示目前已是最小生成樹。O(V)

　丙、調整所有進入水母環的邊的權重。O(E)

　　　w(a, x) -= w(å, x)，åx是x點的最小入邊，ax為其他連入x點的邊。

　丁、收縮水母環成為一點。O(E)

最糟的情況是每個步驟中剛好產生一直水母環有兩個點的水母，水母環進行收縮後，整張圖只減少一個點。所以最多要進行 V-1 次步驟，總共的時間複雜度會是 O(V*E) 。

據說此演算法還可以加速成 O(V^2) 以及 O(ElogV) ，不過我不知道怎麼做就是了。

 

 

固定樹根：找出一棵最小生成樹＋計算最小生成樹權重（簡單的資料結構）

?

int  V, E;
struct  Edge { int  a, b, c;} Ed[40000];
int  d[1000], p[1000], v[1000], n[1000], m[1000];
// 每個點最小入邊的權重，每個點最小入邊的來源，
// 拜訪過，水母環，已收縮。

int  MST( int  r)
{
    memset(m, 0, sizeof (m));

    // 目前生成樹的權重，累計收縮水母環而失去的權重。
    int  w1 = 0, w2 = 0;
    while  ( true )     // 一旦形成生成樹就停止。最多執行V-1次。
    {
        /* O(E) graph traversal.
                find minimum in-edge for each vertice.

            --->o
        */
        memset(d, 1, sizeof (d));
        memset(p, -1, sizeof (p));

        for  ( int  i=0; i
        {
            int  &a = Ed[i].a, &b = Ed[i].b, &c = Ed[i].c;
            if  (a != b && b != r && c < d[b])
                d[b] = c, p[b] = a;
        }

        /* O(V) jellyfish detection
             ___
            /   /
            /___/
           _/|||/_
            //1//
        */
        memset(v, -1, sizeof (v));
        memset(n, -1, sizeof (n));

        w1 = 0;
        bool  jf =  false ;
        for  ( int  i=0; i
        {
            if  (m[i])  continue ;
            if  (p[i] == -1 && i != r)  return  1e9;
            if  (p[i] >= 0) w1 += d[i];

            // 找水母環
            int  s;
            for  (s = i; s != -1 && v[s] == -1; s = p[s])
                v[s] = i;

            // 標記水母環上的點，以及將會被收縮掉的點。
            if  (s != -1 && v[s] == i)
            {
                jf = true ;
                int  j = s;
                do
                {
                    n[j] = s; m[j] = 1;
                    w2 += d[j]; j = p[j];

                } while  (j != s);
                m[s] = 0;
            }
        }
        if  (!jf)  break ;

        /* O(E) edge reweighting and cycle contraction
             ___
            /   / <-
            /___/
        */
        for  ( int  i=0; i
        {
            int  &a = Ed[i].a, &b = Ed[i].b, &c = Ed[i].c;
            if  (n[b] >= 0) c -= d[b];
            if  (n[a] >= 0) a = n[a];
            if  (n[b] >= 0) b = n[b];
            if  (a == b) Ed[i--] = Ed[--E];
        }
    }
    return  w1 + w2;
}

int V, E; struct Edge {int a, b, c;} Ed[40000]; int d[1000], p[1000], v[1000], n[1000], m[1000]; // 每個點最小入邊的權重，每個點最小入邊的來源， // 拜訪過，水母環，已收縮。 int MST(int r) { memset(m, 0, sizeof(m)); // 目前生成樹的權重，累計收縮水母環而失去的權重。 int w1 = 0, w2 = 0; while (true) // 一旦形成生成樹就停止。最多執行V-1次。 { /* O(E) graph traversal. find minimum in-edge for each vertice. --->o */ memset(d, 1, sizeof(d)); memset(p, -1, sizeof(p)); for (int i=0; i= 0) w1 += d[i]; // 找水母環 int s; for (s = i; s != -1 && v[s] == -1; s = p[s]) v[s] = i; // 標記水母環上的點，以及將會被收縮掉的點。 if (s != -1 && v[s] == i) { jf = true; int j = s; do { n[j] = s; m[j] = 1; w2 += d[j]; j = p[j]; } while (j != s); m[s] = 0; } } if (!jf) break; /* O(E) edge reweighting and cycle contraction ___ / / <- /___/ */ for (int i=0; i= 0) c -= d[b]; if (n[a] >= 0) a = n[a]; if (n[b] >= 0) b = n[b]; if (a == b) Ed[i--] = Ed[--E]; } } return w1 + w2; }

UVa 11183

 

注:http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/SpanningTree.html