欧几里德算法（辗转相除法）的证明

内容

gcd(a,b)=gcd(a,a mod b）

证法一

//证明某个d是b和a%b的公约数
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r

因此d也是b,a mod b的公约数

//证明某个d是a和b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。
 
进而d|a.因此d也是a,b的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证法二

• 第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
• 第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
• 第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
• 第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd,n=yd,(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】
• 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得证