2019杭电暑期多校第七场 （K)

K - Kejin Player

题目大意

  升级要钱$ai$，升级有失败的概率$pi$，而失败则会回到$xi$级别。问：给定两个等级$l<r$，$l$升到$r$的期望钱

解题思路：

1. 设$f[i]$为$i$到$i+1$级别的期望钱, $sum[i]$为$f[1]$到$f[i]$的期望钱的总和，$q[i]$为失败概率
2. 首先假设当前$i$层如果失败那么只会返回到$xi=i$层，由求和式子（高中的错项相消法）可以得出当前$f[i]=ai/pi$
3. 再进一步假设返回的$xi=i-1$, 那么$f[i]=ai/p[i]+(sum[i-1]-sum[i-2])\ast q[i]$
4. 然后我们大胆推结论$f[i]=ai/p[i]+(sum[i-1]-sum[xi-1])\ast q[i]$
5. 最后因为要对$Mod=(1e9+7)$取模,最后的式子即为f[i] = (a[i] * p[i] % Mod + (sum[i - 1] - sum[x[i] - 1] + Mod) * q[i] % Mod) % Mod;
6. 为什么这里的期望符合累加呢？
     由于当到达一个点x时，你接下来要发生的事情与之前做的事情没有任何关联，无论你用何种方式到达x，你接下来的待遇都会被一视同仁，也就是我当前的决策对于将来没啥影响。（引用来源：博客）

AC代码

#include
#include
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#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll Mod = 1000000007;
int T, n, m, r[500100], s[500100], x[500100], a[500100];
ll p[500100], f[500100], sum[500100], q[500100];
void Exgcd(ll a, ll b, ll & x, ll & y) {
    if(b == 0) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
    ll tx, ty;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d%d", &r[i], &s[i], &x[i], &a[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            Exgcd(r[i], Mod, tx, ty);
            tx = (tx % Mod + Mod) % Mod;
            p[i] = s[i] * tx % Mod;
            q[i] = (s[i] - r[i]) * tx % Mod;
        }
        f[1] = a[1] * p[1] % Mod;
        sum[1] = f[1];
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            f[i] = (a[i] * p[i] % Mod + (sum[i - 1] - sum[x[i] - 1] + Mod) * q[i] % Mod) % Mod;//还要考虑失败的概率
            sum[i] = (sum[i - 1] + f[i]) % Mod;
        }
        while(m--) {
            scanf("%lld%lld", &tx, &ty);
            printf("%lld\n", (sum[ty - 1] - sum[tx - 1] + Mod) % Mod);
        }//加Mod是为了防止出现负数
    }
    return 0;
}