HDU6755.Fibonacci Sum

HDU6755.Fibonacci Sum(二次剩余)

思路：$fibnacci$二次剩余转等比数列求和。

由$fibonacci$公式：$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\times [(\frac{\sqrt{5}+1}{2}{)}^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2}{)}^n]$

令$a=(\frac{\sqrt{5}+1}{2}{)}^n,b=(\frac{\sqrt{5}-1}{2}{)}^n$。

令$\frac{1}{\sqrt{5}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)=tmp$。

$F_n^k=tm{p}^k\times (a^n-b^n{)}^k$

右边展开得

$\sum _{i=0}^k{C}_k^i(-1{)}^i[a^{(k-i)}{b}^i{]}^n$

同理

$$\begin{gathered} F_{n-1}^k=tm{p}^k\times (a^{n-1}-b^{n-1}{)}^k \\ =tm{p}^k\times \sum _{i=0}^k{C}_k^i(-1{)}^i[a^{k-i}{b}^i{]}^{n-1} \end{gathered}$$

考虑将含$C_k^i(-1{)}^i$的所有项合并。

$\because F_0=0$

$\therefore \sum _{i=0}^n{F}_i=\sum _{i=1}^n{F}_i$

$=tm{p}^k\times \sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i\times (a^{k-i}{b}^i+(a^{k-i}{b}^i{)}^2+(a^{k-i}{b}^i{)}^3\cdots +(a^{k-i}{b}^i{)}^n)$

令$(a^{k-i}{b}^i)=x$

$=tm{p}^k\times \sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i\times \frac{x(x^n-1)}{x-1}$

$x=1$特判，直接求和为$n$

当$F_i$变为$F_{ic}$，公式变为：$tm{p}^k\times \sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i\times \frac{x(x^n-1)}{x-1},x=(a^{k-i}{b}^i{)}^c$

然后快速幂加逆元搞下就出来了。

注意优化常数：如$x$只用求一次，后面递推即可。

然后还有一个优化是:

根据欧拉定理：$x^y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)=x^{y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p-1)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

当$x,p$互质时可得。

(该优化的证明已给出，下面是传送门.)
传送门

此外$tmp$可以根据：二次剩余知识$x^2=5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，
搞出$x=383008016$,
然后可以求出$a,b$在模$p$下的值为：
$691504013,308495997$.
以上有时间再证明…
时间复杂度：$O(klogn)$

但是为毛实测跑这么慢$1.5s$。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f;
const ll mod=1e9+9;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
ll ksm(ll a,ll n){
	ll ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
ll n,c,k,fac[N],inv[N];
void pre(){
	int n=1e5;fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=1;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
ll fun(ll n,ll c,ll k){
	ll ans=0;
	ll a=ksm(691504013,c%(mod - 1)),b=ksm(308495997,c%(mod - 1));
	ll A=1,B=ksm(b,k),invB=ksm(b,mod-2);
	for(int i=0;i<=k;i++){
		ll x=A*B%mod;
		ll y=C(k,i),sum;
		if(x==1) sum=n%mod;
		else sum=x*(ksm(x,n%(mod-1))-1+mod)%mod*ksm(x-1,mod-2)%mod;
		if((k-i)&1) ans-=sum*y%mod;
		else ans+=sum*y%mod;
		ans%=mod;
		A=A*a%mod,B=B*invB%mod;
	}
	ll tmp=ksm(383008016,mod-2);
    ans=ans*ksm(tmp,k)% mod;
    return (ans%mod+mod)%mod;
}
int main(){
	pre();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&c,&k);
	printf("%lld\n",fun(n,c,k));
	}
	return 0;
}