【Timus1132】—Square Root（奇质数意义下的二次剩余）

传送门

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$Solution$：

首先：
勒让德符号：

$$(\frac{a}{p})=\{\begin{array}{ll}1& a是\%p意义下的二次剩余\\ -1& a是\%p意义下的非二次剩余\\ 0& a\equiv 0(\%p)\end{array}$$

有结论（欧拉准则）
$$(\frac{a}{p})\equiv a^{\frac{p-1}{2}}$$

证明

当$a\equiv 0(\%p)$时显然成立

由于费马小定理：$a^{p-1}\equiv 1$
所以$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1or-1(\%p)$

首先证明$(\frac{a}{p})=1$时$a^{\frac{p-1}{2}}=1$

必要性：

由于$a\equiv x^2,$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (x^2{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1(\%p)$

充分性：

设$\%p$意义下原根为$g$，则$g^k\equiv a^{p-1}\equiv 1(\%p)$
则一定存在$g^i\equiv a$

则$g^{\frac{i(p-1)}{2}}=1$
又$g^{p-1}\equiv 1$
所以$2|i$
所以必然存在$g^{\frac{i}{2}}\equiv x_0(\%p)$

$(\frac{a}{p})=-1$
反证可以得到$x^{p-1}\equiv -1(\%p)$，显然是不可能的

所以我们可以判断$k$在$\%p$意义下是否存在二次剩余

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$Cipolla$算法

求解$p$为奇质数的情况

随机一个数$b$
使$w\equiv b^2-a$且不存在二次剩余

由于$w$在$\%p$不存在二次剩余
可以类似虚数那样设$i=\sqrt{w}$

由于$b^2-w\equiv a\equiv x^2$
$b^2-w\equiv b^2-i^2\equiv (b+i)(b-i)$

考虑$(b+i{)}^p={\sum }_{j=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})b^j{i}^{p-j}$
由于当$j!=0orp$时，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j}\right)\equiv 0$

所以$(b+i{)}^p\equiv b^p+i^p\equiv b^{p-1}b+w^{\frac{p-1}{2}}i$
由于$w$是$\%p$非二次剩余，所以$w^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1$

所以$(b+i{)}^p\equiv b-i$
所以$x^2\equiv (b+i)(b-i)\equiv (b+i{)}^{p+1}$
$x\equiv (b+i{)}^{\frac{p+1}{2}}$

由于$\%p$意义下非二次剩余不会少于$O(\frac{p}{2})$个
所以期望找2次$b$就存在$w$是非二次剩余

复杂度$O(lo{g}_p)$

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#include
using namespace std;
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define cs const
#define pii pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int mod,w;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?a+=mod:0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
struct plx{
	int x,y;
	plx(int _x=1,int _y=0):x(_x),y(_y){}
	friend inline plx operator *(cs plx &a,cs plx &b){
		return plx(add(mul(a.x,b.x),mul(mul(a.y,b.y),w)),add(mul(a.x,b.y),mul(a.y,b.x)));
	}
}; 
inline plx ksm(plx a,int b){
	plx res=plx();
	for(;b;b>>=1,a=a*a)if(b&1)res=res*a;
	return res;
}
inline int solve(int a){
	if(mod==2)return 1;
	if(ksm(a,(mod-1)/2)==mod-1)return -1;
	int b;
	while(1){
		b=rand()%mod;
		w=dec(mul(b,b),a);
		if(ksm(w,(mod-1)/2)==mod-1)break;
	}
	return ksm(plx(b,1),(mod+1)/2).x;
}
int main(){
	int T=read();
	srand(time(NULL));
	while(T--){
		int a=read();mod=read();a%=mod;
		a=solve(a);
		if(a!=-1){
			int b=mod-a;
			if(a>b)swap(a,b);
			if(a!=b)cout<<a<<" "<<b<<'\n';
			else cout<<a<<'\n';
		}
		else cout<<"No root\n";
	}
}