辗转相除法证明

int gcd(int a, int b) {return !b ? a : gcd(b, a % b);}

$a$可以表示成$a=kb+r$，则$r=a\%b$
假设$d$是$a,b$的一个公约数，记作$d|a,d|b$，即$a$和$b$都可以被$d$整除
而$r=a-kb$，两边同时除以$d$，得$\frac{r}{d}=\frac{a}{d}-\frac{kb}{d}=m$
由等式右边可知$m$为整数，因此$d|r$
因此$d$也是$(b,a\%b)$的公约数
假设$d$是$(b,a\%b)$的公约数，则$d|b,d|(a-k\ast b)$，$k$是一个整数。
进而$d|a$，因此$d$也是$a,b$的公约数
因此$(a,b)$和$(b,a\%b)$的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。