牛客多校第六场B-Binary Vector（线性代数linear algebra）

Statement

题解

• 由于这$n$个向量线性无关
• 所以它们张成了满秩空间($N$维)
• 每一个向量都不属于之前的空间
• 总共$2^N$个向量
• 当$N=1$时，设取到向量$a$
• 共有$2$个向量与它线性相关： $a$和$0$
• 当$N=2$时，设取到向量$ab$
• 共有$4$个向量与它们线性相关： $a$,$b$,$a+b$,$0$
• 当$N=3$时，设取到向量$abc$
• 共有$8$个向量与它们线性相关： $a$,$b$,$c$,$a+b$,$b+c$,$a+c$,$a+b+c$,$0$
• $...$
• 以此类推，当$N=i$时，有$2^i$个向量线性相关
• 就有$2^N-2^i$个向量线性无关
• $P(linearindependent)=\frac{2^n-2^i}{2^n}$

$f(n)=\prod _{i=1}^n\frac{2^n-2^i}{2^n}$

$=\prod _{i=1}^n\frac{2^{n-i}-1}{2^{n-i}}$

$=\prod _{i=1}^n\frac{2^i-1}{2^i}$

• 然后就可以递推了

代码

#include 
const int N=2e7,mod=1e9+7;
int T,n,mul[N],inv[N],ans[N];
int ksm(int a,int b){
	int r=1;
	while(b){if(b&1)r=1ll*r*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;}
	return r;
}int main(){
	mul[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) mul[i]=2ll*mul[i-1]%mod;
	inv[N]=ksm(mul[N],mod-2);
	for(int i=N-1;i;i--) inv[i]=2ll*inv[i+1]%mod;
	int x=inv[1];ans[1]=inv[1];
	for(int i=2;i<=N;i++) 
		x=1ll*x*(mul[i]-1)%mod*inv[i]%mod,ans[i]=ans[i-1]^x;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) scanf("%d",&n),printf("%d\n",ans[n]);
}