2020牛客暑期多校训练营（第六场）
B. Binary Vector
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题意：随机n个n维01向量，询问这个n个向量线性无关的概率
题解：
O(n) 维护2的幂和2的幂的逆元。
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e7 + 5;
ll f[N], c[2 * N];
void init() {
f[1] = 500000004;
ll a = 2, b = f[1];
for(int i = 2; i < N; ++i) {
a = a * 2 % mod;
b = b * f[1] % mod;
f[i] = f[i - 1] * (a - 1) % mod;
f[i] = f[i] * b % mod;
}
for(int i = 2; i < N; ++i)
f[i] ^= f[i - 1];
}
int main()
{
init();
int t, n;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d", &n);
cout< C. Combination of Physics and Maths
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题意：定义矩阵的压强为 所有元素的和 / 最后一行的和。给一个n * m的矩阵，选取若干行和若干列，相交位置的元素提出来作为子矩阵，问所有子矩阵的最大压强
思路：若从原矩阵中选一行作为子矩阵的最后一行，为了使压强最大，选中列在该行上面的所有元素肯定都要选中，即行的选取一定是从第一行到某一行都选；若有两列的压强分别为a / b，c / d，且a / b >= c / d，那么有 a / b >= (a + c) / (b + d) >= c / d，即最优解一定是单列，所以 n ^ 2 扫一遍就好了
-----------------------------------------证明-----------------------------------------
已知 
，证明 
（下面转自https://blog.csdn.net/puss0/article/details/103778756
-----------------------------------------------------------------------------------------
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 205;
int a[N];
int main() {
int t, n, m, x;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(a, 0, sizeof(a));
double ans = 0.0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
for(int j = 1; j <= m; ++j) {
scanf("%d", &x);
a[j] += x;
ans = max(ans, 1.0 * a[j] / x);
}
}
printf("%.8f\n", ans);
}
return 0;
}
E. Easy Construction
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题意：构造一个1~n的序列，使得 i 对任意的1~n，序列中存在一个长度为 i 的连续子序列满足该子序列的和 % n == k
思路：
1~n的和是sum = (n + 1) * n / 2，发现当 n 是偶数的时候sum % n == n / 2，若可以构造必须k == n / 2；n是奇数的时候sum % n == 0，必须k == 0，否则不能构造。
n是偶数：n, n / 2, 1, n - 1, 2, n - 2, 3, n - 3 ....
n是奇数：n, 1, n - 1, 2, n - 2, 3, n - 3....
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e3 + 5;
int main()
{
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
if((n & 1) && k == 0) {
printf("%d", n);
for(int i = 1; i <= n / 2; ++i)
printf(" %d %d", i, n - i);
printf("\n");
}
else if(!(n & 1) && k == n / 2) {
printf("%d %d", n, n / 2);
for(int i = 1; i < n / 2; ++i)
printf(" %d %d", i, n - i);
printf("\n");
}
else
printf("-1\n");
return 0;
}
K. K-Bag
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题意：定义k-bag由若干个1~k的排列组成，给一个序列判断是否是k-bag的子序列
思路：（尺取）
（1）有< 1或 > k的元素 ，NO
（2）所有数只出现了一次，YES
（3）找到第一个重复出现的元素，记录第一次出现的位置k1和第二次出现的位置k2，从(k1, k2]中选取一个位置作为第二段的开头，向后判断是否符合题意
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int N = 2e6 + 10;
int a[N];
int main() {
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
bool flag1 = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &a[i]);
if(a[i] < 1 || a[i] > k)
flag1 = 0;
}
if(!flag1) {
cout<<"NO"<<'\n';
continue;
}
unordered_mapmp;
int k1 = -1, k2 = -1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(mp[a[i]]) {
k1 = mp[a[i]];
k2 = i;
break;
}
mp[a[i]] = i;
}
if(k1 == -1) {
cout<<"YES"<<'\n';
continue;
}
mp.clear();
int l = k1 + 1, r = k1 + 1, cnt = 0, num = 0;
bool flag = 1;
while(1) {
if(l > k2) {
flag = 0;
break;
}
bool f = 1;
while(r <= n && num < k) {
if(mp[a[r]] == cnt) {
num++;
mp[a[r]]++;
r++;
}
else {
f = 0;
break;
}
}
if(!f) {
mp[a[l]]--;
num--;
l++;
}
else if(num == k) {
num = 0;
cnt++;
}
if(r == n + 1)
break;
}
if(flag) cout<<"YES"<<'\n';
else cout<<"NO"<<'\n';
}
return 0;
}