2020美赛B题解题思路（The Longest Lasting Sandcastle(s)）

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• 正文

本文可能用到的网站链接：
https://ourworldindata.org/plastic-pollution
全英文网站，集结各类数据，包含本文所需的“海洋数据”

Problem B: The Longest Lasting Sandcastle(s)

人们会在沙滩用沙子堆城堡，在这些城堡的建造过程中，都是先用沙子堆出一个地基（foundation），然后对这块地基进行切割、塑形，从而建造沙子城堡。

潮汐引起的海浪会侵蚀沙滩的城堡，但是有人发现，即使是距离海边距离一样、城堡的建造规模一样的情况下，不同的城堡受到海浪侵蚀的结果不同。所以，人们推测是否存在一个最好的（可以更好地抵御潮汐海浪侵蚀的）三维几何形状的地基来用于建造沙堡（one wonders if there exists a best 3-dimensional geometric shape to use for a sandcastle foundation）。

问题1：构建一个数学模型，确定一个最佳的、最能抵御潮汐海浪侵袭的“三维几何形状的地基”，使得这个地基能经受最长时间的潮汐海浪侵蚀。前提是满足以下两个条件：(1)沙堡地基的建造位置与海边距离相同；(2)沙堡地基需要使用“相同类型的沙子”、“相同数量/体积/质量的沙子”、“相同的水砂混合比”。

关键字：“三维几何形状的地基”、“潮汐海浪( the inflow of ocean waves coupled with rising tides)”、“建造位置与海边距离相同”、“地基的建造原料基本相同（相同类型的沙、相同数量/体积/质量的沙、相同水砂混合比的沙）”。

• “三维几何形状的地基”：这一点稍微注意一下就好，不要因为这个限制了思维。这一点就是说沙堡地基的形状可以是三维的，不一定非得是一个四四方方的沙堆拍平了弄成一个“沙豆腐块”当地基，或许可以是“倒T形”、“倒三角形”等的地基。PS：或许有可能是个带有坡度的地基，类似“金字塔形”，因为“沙滩”本身就是一个最好地基，而沙滩的形状就是带有一定坡度的沙堆，有了这个坡度才能更好的缓解潮汐海浪的冲击、侵蚀；
• “潮汐海浪”：这一点规定了海浪的成因，即“潮汐(tides)”≠“海浪(waves)”，潮汐是日月引力下的周期性涨落，在无风的情况下应该是规律的起落起落；而海浪的形成是风，最常见的就是浪水涌上来拍打岩石。这一点对题目本身不会有太大影响，只是不同原理形成的潮汐、海浪有着不同的周期和“摧毁力(包括冲击力、持续时间等)”。PS：问题中指的“the longest period of time”也是指日月潮汐时间周期；
• “距离”、“原料”：这就是为了控制变量。看来第一问主要就是针对沙堡地基的形状，因为其他条件都被限制了——海边距离相同说明环境相同（海风相同、空气潮湿程度相同、受到的“冲击力“相同、沙滩地理构造相同）、原料相同也就是不能用浇一个混凝土出来，那就”百毒不侵“了。基本上就是靠地基形状来抵御侵蚀（如有考虑不周地方，请指出来，或许和形状之外的因素也有关）；

解题思路1

• 本题基本上是针对沙堡的“几何形状”做研究，设计一个最合理的形状，可以最大程度地承受潮汐侵蚀。因为侵蚀的关键如下：(1)海水的化学侵蚀；(2)海水的作用力塑形。而海边的盐碱程度、潮湿程度相同，只剩外力影响。
• 所以，首先要建立一个“流水侵蚀模型”，用来研究在“(水的)不同流速”、“(水的)不同流量”、“(沙的)不同体积、表面积”的情况下，流水侵蚀的程度；
• 然后，要对上述模型的水流进行细化，建立“潮汐流水模型”。因为潮汐侵蚀分为以下几个过程：涨潮过程、涨潮中的海浪侵蚀、退潮过程、退潮过程中的海浪侵蚀。所以，在不同阶段下，海水的冲击力可能会不同，也就是水的流速、流量受到影响；
• 其次，对上述模型的沙进行细化，建立“流水作用-沙模型”。因为沙在不同体积、表面积情况下的受力状态不同。在涨潮过程中，朝向海水的沙堡正面会首当其冲，受到海水的拍打，然后是沙堡侧面受到流水在前进过程中的侵蚀，随后涌到最远的海浪退回海水时沙堡的背面也会受到侵蚀。在这种情况下，沙子的三个面受到了三种“来自于流水的、不同的”力。然后求解一下在流水的“摧残”后沙子的保有量，也就是每次“摧残”沙子“还能剩多少，以便比较各种形状沙堡地基的防御力。（还有一点，如果有余力可以考虑去做，就是在侵蚀一定程度后，沙堡地基的形状会发生改变，那么它相应的正、侧、后面的受力程度也会变化，会对模型造成一定的影响）。PS：大概一想的话，可能是个如下的形状——正面和背面坡度较大以便缓冲海水的冲击力、侧面较窄类似于流行性以便像鱼一样减少海水的侵蚀（但是这个形状蛮怪的，不知道对不对-_-）；
• 还有，关于时间因素，加不加无所谓。因为前一小段所述——求解处流水摧残后的沙子保有量——就可以体现沙堡地基的“防御力”了。比如，A沙堡每次会剩下97%的沙，而B沙堡每次剩下95%的沙，那么最后肯定是A最好；
• 最后，就是八仙过海各显神通的步骤，把上述几个模型结合起来，形成一个完整的“流水侵蚀模型”。

问题2：再建立一个模型，确定何种的“沙水混合比”是建造沙堡地基的最佳配比（不准使用其他材料——这一点就是防止有人配一个混凝土出来，稍微注意一下，不要浇混凝土）。

关键字：“沙水混合比”、“不准加其他材料”。

• “沙水混合比”：问题1中提到过，流水的“摧残”包括冲击力和侵蚀，它们都会一定程度上与沙水混合比有关；
• “不加其他材料”：切记只有沙、水。

解题思路2（正侧背面混合比不同、动态侵蚀中的防御力）

• 前文提到过，在“潮汐流水模型”、“流水作用-沙模型”中，沙堡地基会被侵蚀，而之前是控制了变量的，即问题1规定了“相同的沙水混合比”。而这个混合比主要影响了沙堡的“结实耐用程度”；
• 在潮汐流水不变、沙堡地基几何形状确定的情况下，沙堡的“水砂混合比”直接影响了“流水作用-沙模型”中的正、侧、背面的“防御力”。所以，需要建立一个“混合比-防御力模型”。此时，仅需单独考虑不同混合比下的结实程度，可以查阅一下有无“不同沙水混合比的材质区别”的公式，因为沙水混合比影响的是物理性质。PS：没有的话也可以直接参考建筑施工时的沙水混合比，但还是不准配混凝土。
• 其中要注意的是，在海水的动态侵蚀过程中，沙堡地基的几何形状（表面积、体积）会改变，而且沙水混合比也会改变。但是，沙水混合比的改变不是几何形状改变造成的，而是海水侵蚀过程中残留的海水增加了沙堡地基的含水量，进而改变了沙水混合比。所以，在有余力的情况下可以细化上述模型，增加“海水残留量”作为变量，辅助修正“动态防御力”；
• 还有，鉴于沙堡地基的正、侧、背面受力程度不同，或许可以考虑改变三个面的“沙水混合比”，使得防御力最大化。比如，如果沙水混合比（含沙量/含水量）高的情况下“物理防御力”更高、结构形状更稳定，而沙水混合比（含沙量/含水量）低的情况下“化学防御力”更高、抗海水侵蚀效果更好，这样的话可以让沙堡地基内部混合比高一些，外面混合比低。PS：这一点的真实性未经计算考证，仅供参考！
• 最后，结合上述，分析何种“沙水混合比”的防御力最高。

问题3：根据需要调整模型，分析“由问题1 得到的模型”会如何受到降雨的影响，并且，在降雨的情况下，模型是否仍然是最佳的沙堡地基模型。

关键词：“问题1得到的模型”、“降雨”。

• “问题1得到的模型”：以问题1为基础，不考虑问题2的模型；
• “降雨”：这个就刚好补全了沙堡的所有“受力面”，原本只有正、侧、背面，现在天上还会降雨，全方位受敌。

解题思路3

• 由于降雨会影响几个方面，所以可能需要对原模型修正。其一是降雨导致的沙堡含水量，其二是降雨导致的沙堡几何形状的改变；
• 关于其一，由于降雨会同时导致沙堡含水量增加，所以是可以忽略降雨带来的含水量的影响，因为都会被淋湿。至于，会不会不同的沙堡形状会改变“淋湿程度”，比如沙堡顶上弄个锥型屋檐来排水，这个可能影响不大，把这“其一”的重要性放到最后再考虑吧；
• 关于其二，由于降雨会冲刷沙堡致其形状受损。比如，我是说比如，原本在问题一里面，弄了几根柱子加一个顶层做地基（跟希腊宫殿一样），可能受到海水影响小了，但是被雨淋就会毁了“地基的屋顶”。所以，其二的话要考虑降雨冲刷顶部带来的影响。可以仿照流水对正、侧、背面的侵蚀，建一个“降雨侵蚀模型”。

问题4：如果有的话，还有什么办法可以增加沙堡的使用寿命？

关键词：“延长寿命”。

• “延长寿命”：可以从两个角度出发，一个是一次完工，再不修补；第二个是完工后不定期动态修补。（1） “一次完工”的话，可以考虑往沙水里面加新材料，使其更牢固，至于能不能造混凝土，不好说……；（2） “动态修补”的话，不知道这个方法的底线是什么，如果无条件修补的话，每次都可以盖一个新的沙堡出来，寿命++。但是考虑到实际情况，本问应该指的是地基建好之前的方法。
• 所以，可以主要针对“加新材料”、“改变沙子总量”、“改变沙堡与海水距离”、“改变沙子类型”，也就是第一问中曾经限制的条件，可以在第四问尝试使用。

解题思路4

• “加新材料”：这个尝试去做，用化学的方法，不太懂就不涉及了；
• “改变沙子类型”：这个沙子的类型会影响沙堡结实程度是很有可能的，所以研究一下不同类型的沙子在物理性质方面有和不同，对几种类型不同的沙子建个模型试一下；
• “改变沙子总量”：沙子的体积也可能会影响，主要是被侵蚀的表面积的大小影响；
• “改变沙堡与海水距离”：把沙堡离海水搬远一点，比如：搬到沙滩远海端、搬到陆地上、搬到家里。PS：不能搬到家里，应该还是要在沙滩上，才能满足题意！

问题5

写一篇小报告！

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