前言：
没想到吧，\(tarjan\)不仅可以用来求割点和桥，缩点，还能求\(LCA\)。不过，\(tarjan\)求\(LCA\)是离线的，要在线算法的话还是学倍增吧。
正题:
这次的\(tarjan\)不需要回溯值和\(dfs\)序，本质的来说，其实\(tarjan\)求\(LCA\)跟割点和桥，缩点没有任何关系一个人发明的算不算。
前置知识：并查集
当然，\(tarjan\)的其他两个算法跟\(dfs\)有关，求\(LCA\)也不例外，我们是在\(dfs\)的基础上，一步一步求出来的。
步骤如下：
-
对这课树进行\(dfs\)，从根开始
-
对于每个节点，我们不先标记这个点走过，回溯的时候才标记
-
对于每个节点，遍历与之相邻且未走过的点，并把这些点的父亲标记为当前节点，相当于合并这些点
-
对于每个节点，当与之相邻的点遍历完后，查询在求LCA问题中与自己相关的问题，看它问题中的另外一个点有没有被查询到，有的话就把这两个点的答案赋值为另外一个点的父亲（当然是合并后的父亲）
第三步的是否走过时指遍历到了没有，不是标记。对于合并，合并后查询父亲，我们就用并查集来完成。
这样自然是不好理解的，来看个例子（以下的\(find\)函数就是普通并查集的\(find\)）：
这是我们的图，现在假设我们要求\(3\)和\(4\)，\(2\)和\(6\)的\(LCA\)。
先进行第一步，此时我们先是从\(1\)开始搜，先到的地方是\(3\)，然后看与\(3\)相关的节点\(4\),\(4\)没有被搜到，我们就退出，并标记\(3\)，把他的父亲标记为\(2\)，合并掉\(3\)。
此时，\(2\)的儿子没遍历完开始遍历\(4\)，与\(4\)相关的节点\(3\),是搜过的，此时\(LCA\)\(3\),\(4\)就是\(find\)（\(3\)）也就是\(2\)（注意不能\(find\)（\(4\)），而是\(find\)与之相关的另外一个节点）。然后合并\(4\)，把\(4\)的父亲标记为\(2\)。
这时应该遍历\(2\)了，发现与之相关的\(6\)未找到，于是把\(2\)的父亲标记为\(1\)，自然，此时\(3\),\(4\)的父亲也为\(1\)了。
后面的就以此类推了。这一步应该判断\(6\)，求出\(LCA2\),\(6\)为\(1\)，合并\(6\)，标记父亲。
把\(5\)合并，父亲为\(1\)。
到\(1\)了后就没有了，算法完结。
接下来讲讲实现。
例题：
洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
这就是模板了吧，我把代码贴一贴，理解一下（特别短！！！而且这道题对于倍增和\(RMQ\)都需要卡卡常，而\(tarjan\)我用\(vector\)建图不加快读快写就能过，当然得把注释删掉，不然会\(T\)）。
代码：
#include
using namespace std;
struct node{
int p , id;
}; //代表与之相关的点和这一对LCA是第几个答案
int n , m , root;
int fa[500010] , vis[500010]/*标记+判断是否走过*/ , ans[500010];
vector e[500010]; //建边
vector q[500010]; //存储问题
int find(int x){ //路径压缩
if(fa[x] == x) return x;
return fa[x] = find(fa[x]);
}
void tarjan(int x){
vis[x] = 2; //2表示走过
for(int i = 0; i < e[x].size(); i++){
int nx = e[x][i];
if(vis[nx]) continue;
tarjan(nx);
fa[nx] = x; //标记父亲
}
for(int i = 0; i < q[x].size(); i++){
int px = q[x][i].p , ix = q[x][i].id; //找与之相关的点
if(vis[px] == 1) ans[ix] = find(px);
}
vis[x] = 1; //1表示标记过
}
int main(){
cin >> n >> m >> root;
for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i; //并查集初始化
for(int i = 1; i <= n - 1; i++){
int x , y;
cin >> x >> y; //建图，注意双向边（被坑过）
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x);
}
for(int i = 1; i <= m; i++){
int x , y;
cin >> x >> y; //因为我们在tarjan过程中不知道求的是第几个答案，所以要存储一下这一对LCA是第几个答案
q[x].push_back((node){y/*与之相关的点*/ , i/*第几个答案*/});
q[y].push_back((node){x , i});
}
tarjan(root); //跑LCA
for(int i = 1; i <= m; i++) cout << ans[i] << endl; //输出
return 0;
}
再来一道例题：
洛谷 P1967 货车运输
这道题还需要用到最小生成树。
先讲下思路吧。
对于一些道路，我们在保证图的连通性时，是可以删掉的，就如样例的边\(1\)，\(3\)，我们是肯定不会走这条路的，题目没有要求路更短，那么我们就可以删掉一些小边，只要不破坏图的连通性就行（原来就不连通那可没办法了），这时，我们可以想到最大生成树，把小边删掉，保留大边，这样就可以既保证图的连通性，又减少冗余的边。接下来，对于一棵树，任意两点是不是就只有一条路径了，我们就可以求出要求的两点的\(LCA\)，然后从两个点往上查找，直到找到他们的\(LCA\)，取最小值，最后输出即可。
当然，可以优化的，具体应该是在\(tarjan\)过程中就求出他们的路径和最小值，但是我太菜了死活没想出来，只能想到这里了。
代码：
#include
using namespace std;
struct node{
int l , r , w;
}; //存边
node ed[300010];
int n , m , q , now;
int fa[300010] , vis[300010] , lca[300010] , rf[300010]/*存往上走的路径*/ , wrf[300010]/*存LCA往上走时的边权*/ , qu1[300010] , qu2[300010]/*存问题的节点*/;
vector > e[300010]; //跑完最大生成树后再建边
vector > ques[300010]; //存问题
int find(int x){
if(fa[x] == x) return x;
return fa[x] = find(fa[x]);
}
bool cmp(node x , node y){ //最大生成树
return x.w > y.w;
}
void trajan(int x){
vis[x] = 2; //走过
for(int i = 0; i < e[x].size(); i++){
int nx = e[x][i].first;
if(vis[nx]) continue;
trajan(nx);
rf[nx] = x; //存往上走的路径
wrf[nx] = e[x][i].second; //存路径值
fa[nx] = x;
}
for(int i = 0; i < ques[x].size(); i++) //存LCA
if(vis[ques[x][i].first] == 1) lca[ques[x][i].second] = find(ques[x][i].first);
vis[x] = 1; //标记走过
}
int dfs(int x , int need){ //找路径最小值
if(x == need) return 0x3fffff; //为本身
if(rf[x] == need) return wrf[x]; //父亲是LCA就停止
return min(wrf[x] , dfs(rf[x] , need)); //取min
}
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; i++) cin >> ed[i].l >> ed[i].r >> ed[i].w;
for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i; //最大生成树并查集初始化
sort(ed + 1 , ed + m + 1 , cmp);
for(int i = 1; i <= m; i++){
int fx = find(ed[i].l) , fy = find(ed[i].r);
if(fx == fy) continue;
fa[fx] = fy;
e[ed[i].l].push_back(make_pair(ed[i].r , ed[i].w)); //建图
e[ed[i].r].push_back(make_pair(ed[i].l , ed[i].w));
now++;
if(now == n - 1) break;
}
cin >> q;
for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
for(int i = 1; i <= q; i++){
int x , y;
cin >> x >> y;
qu1[i] = x , qu2[i] = y;
ques[x].push_back(make_pair(y , i)); //存问题
ques[y].push_back(make_pair(x , i));
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!vis[i]) trajan(i);
for(int i = 1; i <= q; i++){
if(find(qu1[i]) != find(qu2[i])){ //不是同一个联通快
cout << -1 << endl;
continue;
}
int min1 = dfs(qu1[i] , lca[i]) , min2 = dfs(qu2[i] , lca[i]);
if(qu1[i] == qu2[i]) cout << 0 << endl; //如果两个相等
else cout << min(min1 , min2) << endl; //取min
}
return 0;
}
废话结束，正片开始，学\(Treap\)去了，把以前坑填了