概率dp入门小结

概率dp是一类求期望/概率的题目
简单总结一下做法
对于求期望
1.先将状态定义出来
2.然后对于每一个状态$u$，考虑他可能的下一个状态$v$，于是从$u$到$v$连一条概率为$p_{uv}$的边。于是写出一个方程

• $dp[u]=(\sum dp[v]\ast p[u][v])+1$

• 假如这是一个DAG，那么这是个水题，倒着推回去就结束了。

• 假如不是一个DAG，那么可能会有下面这些东西

  • 自环
  • 一条连回某个固定点的边
  • 一条连回根据当前点确定的某个点的边
  • 更多。。。

• 那么一种思路是要转化成一个DAG，在写出方程后：

  • 自环：移项，消掉
  • 把那些不和谐的边拆出来，设一个参数方程：
  • $dp[i]=A_1[i]dp[f_1(i)]+A_2[i]dp[f_2(i)]+...A_n[i]dp[f_n(i)]+B[i]$
  • 其中$f_k(i)$是那些异常点，那些拓扑序靠后的点都被扔进了$B[i]$里，然后把这一坨东西丢进刚开始写出的那个方程的右边，把$dp[v]$都代换掉，就会写出来一个参数为$i$的参数方程，接下来问题转换为求$A_t[i]$,看一下同类项，就可以把参数的递推式写出来。

对于求概率，类似期望，不过要正着推；比较好考虑的的一个原因是结束点到结束点的期望肯定是零，而最初状态的概率一般是好算的。