群的基本概念

群的定义和简单性质

定义，如果一个非空集合G上定义了一个二元运算o，满足：

1）结合律，推广（广义结合律：对于任意有限多个元素....）

2）存在幺元（单位元）

3）存在逆元

4）交换律（满足的话，称G为交换群或Abel群）

半群——非空集合S有二元运算，此运算满足结合律

幺半群——具有幺元的半群

命题：

1）群的幺元唯一

2）群中任一元素的逆元唯一

3）群中有消去律（左消去律和右消去律）

群所含的元素个数称为群的阶，群G的阶记为lGl,lGl小于无限为有限群，反之无限群

设M是一个非空集合，M到自身的双射的全体对于映射的乘法（即复合）构成一个群，叫做M的全变换群，记为S（M）

对称群和交错群

设M是含有n个元素的集合，M的全变换群S（M）称为n级对称群，记为Sn。

我们可以假定M={1，2,...,n}，Sn的元素称为n元置换

σ=（1  2   ...   n )

      (σ1  σ2   ...   σn)

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,....,σ(it）=i1，且i1，i2,...it之外的元素在σ下都保持不变，则称σ为i1，i2,...it的轮换，t=2时称为对换

命题：对称群Sn中任一不等于幺元的元素都可以唯一地分解为不相交的轮换的乘积。（不计顺序）

推论：任一置换可以分解为对换的乘积

命题：任一给定的置换分解为对换的乘积时出现的对换个数的奇偶性不变

（标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数）

（由行列式理论，每一个对换都使得{1，2，...，n}的任一排列的逆序数改变一个奇数）

奇置换——置换等于偶数个对换的乘积

偶置换——置换等于奇数个对换的乘积

n级交错群——有限集合偶置换

子群、陪集、Lagrange定理

子群：

定义：设H为群G的非空子集。如果H在G的运算下构成群，则称H为G的子群，记作H《=G。

命题：设G是群，H属于G，H不等于空集，则下列命题等价：

1）H小于等于G

2）对任意的a，b属于H，恒有ab属于H和a^-1属于H

3）对任意的a，b属于H，恒有ab^-1属于H（或a^-1*b属于H）

命题:设G是群，H属于G，H不等于空集，下列等价

1）H小于等于G

2）H^2属于H且H^-1属于H

3）HH^-1属于H或（H^-1*H属于H）

平凡子群,任何群都有两个子群G本身和{e}，子群{e}叫做G的平凡子群

真子群，H不等于G，则称H为G的真子群

定义：设G为群，M属于G且非空，称G的所有包含M的子群的交为由M生成的子群，记作

={e,a1a2...an l ai属于M并M^-1,n=1,2,,,}.

如果=G，我们称M为G的一个生成系，或称G由M生成

设Z为整数加法群，令M={2,4,6}，则为偶数加群，且如下子集均为的生成系，{4,6}，{2}，{2,4，6,8,16,22}。

仅由一个元素a生成的群叫做循环群

在群{<0°，60°，120°，180°，240°，300°>，*}中，60°即为该群的生成元。

由有限多个元素生成的群叫做有限生成群

群中任意元素a，我们称的阶为元素a的阶，记作o(a)

o(a)是满足a^n=e的最小正整数n

群中所有元素的阶的最小公倍数叫做群的方次数，记作exp（G）

陪集：

a~l~b 定义为：存在h属于H，使得a=b*h

1）反身性

2）对称性

3）传递性

定义：设H小于等于G，a属于G，称aH（Ha）的子集为H的一个左（右）陪集

H的左陪集的个数（不一定有限），称为H在G中的指数，记为 l G:H l 

H在G中的左、右陪集个数相等，都是 l G:H l

Lagrange定理：设G是有限群，H小于等于G，则 l G l = l G:H l * l H l 

推论：有限群G的任一元素a的阶o（a）整除G的阶；于是a^lGl=e.

正规子群与商群

命题：设G是群，H小于等于G，则H的任意两个左陪集的乘积仍是左陪集的充分必要条件是：aH=Ha （任意a属于G）

正规子群：

设G是群，H小于等于G，如果aH=Ha（任意a属于G），则称H为G的正规子群

任何群G本身和平凡子群{e}都是正规子群，如果除此之外，群G没有其他的正规子群，则被称为单群

命题：设G是群，H小于等于G，则以下三条等价

1）H是G的正规子群

2）a^-1*H*a=H（任意a属于G）

3)a^-1*h*a属于H（任意h属于H，a属于G）

命题：设G是群，H是G的正规子群，则H的陪集在乘法下构成群，称G关于H的商群，记为G/H

陪集乘法封闭——结合律，幺元，逆元，所有的Abel群的子群都是正规子群。

同态与同构，同态基本定理，正则表示

线性映射，引入同态

设G和G1是群，映射P：G到G1，称为由G到G1的一个群同态

如果P保持群运算（P（ab）=P（a）P（b））

                                                                        且P又是单（满）射，P为单（满）同态

                                                                         既单又满的同态，称为同构

群G到自身的同态及同构，我们称之为群G的自同态和自同构

End（G）：G的全体自同态组成的集合

Aut（G）：G的全体自同构组成的集合

P（G）称为 P 的像，记为imP

e1的原像称为P的核，记为kerP，即 ker P={a属于G  l   P（a）= e1 }

命题，设P：G到G1是群同态，则P单等价于ker P={e}

命题，设G到G1是群同态，则 im P《=G1，ker P是G的正规子群

定理（同态基本定理），设P：G到G1是群同态，则   G/ker P同构于im P

推论，设P：G到G1是群的满同态，则G/ker P 同构于G1

引入：定义L（a）：（G到G）g对应ag——称之为由a引起的左平移

定理，任一群都同构于某一集合上的变换群

定义，上述L（G）称作群G的左正则表示，右同理

群的同构定理

典范同态

设G是群，H是G的正规子群，由商群中运算的定义立见

                                                                                     π：G到G/H

                                                                                           a对应aH      

是群同态。这种同态称为G到G/H的典范同态

定理（第一同构定理），设G是群，H是G的正规子群，则在典范同态

                                                                                     π：G到G/H

                                                                                           a对应aH       下

1）G的包含H的子群与G/H的子群在π下一一对应

2）在此对应下，正规子群对应于正规子群

3）若有K是G的正规子群，且H属于K，则

                                           G/H  同构于 （G/H）/（K/H）

 

定理（第二同构定理），设G是群，H是G的正规子群，K<=G,则

1）HK<=G,H交K是K的正规子群；

2）（HK）/H    同构于    K/(H交K).

群的直和群直积

从已知的一些群出发可以构造新的群，其中最简单的途径就是直与直积的构造

直和

定义，设G1，G2是群，(a1，b1)，（a2，b2）属于 G1×G2，定义

(a1，b1)（a2，b2）=（a1 a2，b1 b2），则 G1×G2在此运算下构成群，称为G1与G2的（外）直和，

记为G1⊕G2。G1和G2称为G1⊕G2的直和因子

定义，G1'={（a，e2）l    a属于G1}，G2'={（e1，b）l    b属于G2}，

其中e1和e2分别为G1和G2的幺元

显然，有G1同构于G1‘

G1⊕G2=G1’G2'

G1‘和G2'都是G1⊕G2的正规子群

 命题，设G是群，H，K都是G的正规子集，G=HK，则下述四条等价

1）映射

                  p：H⊕K到G，

            （h，k）到hk 

是同构；

2）G的任一元素表为H与K的元素的乘积的表示法唯一；

3）G的幺元表为H与K的元素的乘积的表示法唯一；

4）H交K={e}.

如果群G和它的两个子群H与K满足上述命题，则称G是H与K的（内）直和，也记为G=H⊕K。

上述概念可推广到多个群——引入直积

直积：——区别在于有限集和无限集

令G= ∏Gi.     Gii( i 属于I—指标集)称为G的直积因子.