抽象代数 01.05 循环群
http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》
§1.5 循环群 {\color{blue}\text{\S 1.5 循环群}} §1.5 循环群
定 义 1.5.1 由 一 个 元 素 a 反 复 运 算 生 成 的 群 {\color{blue}定义1.5.1\quad}由一个元素a反复运算生成的群 定义1.5.1由一个元素a反复运算生成的群
G = { a n ∣ n ∈ Z } \qquad G = \lbrace a^n | n \in \Z \rbrace G={an∣n∈Z}
称 为 循 环 群 , 记 为 ⟨ a ⟩ , a 称 为 这 个 循 环 群 的 生 成 元 . 称为{\color{blue}循环群},记为\lang a \rang,a称为这个循环群的{\color{blue}生成元}. 称为循环群,记为⟨a⟩,a称为这个循环群的生成元.
循环群的任一元都可表为生成元的方幂。
命 题 1.5.1 循 环 群 都 是 交 换 群 . {\color{blue}命题1.5.1\quad}{\color{green}循环群都是交换群.} 命题1.5.1循环群都是交换群.
例 1 n 次 单 位 根 的 全 体 U n = { z ∈ C ∣ z n = 1 } 对 于 复 数 的 乘 法 运 算 构 成 一 个 循 环 群 , {\color{blue}例1\quad}n次单位根的全体U_n = \lbrace z \in \Complex | z^n = 1 \rbrace 对于复数的乘法运算构成一个循环群, 例1n次单位根的全体Un={z∈C∣zn=1}对于复数的乘法运算构成一个循环群,
n 次 本 原 单 位 根 是 这 个 循 环 群 的 生 成 元 . n次本原单位根是这个循环群的生成元. n次本原单位根是这个循环群的生成元.
特 别 地 , U 2 = { 1 , − 1 } , − 1 是 生 成 元 ; U 3 = { 1 , ω , ω 2 } , ω = − 1 + − 3 2 是 生 成 元 ; U 4 = { 1 , − 1 , − 1 , − − 1 } , − − 1 是 生 成 元 。 特别地,U_2=\lbrace 1, -1 \rbrace, -1是生成元;U_3 = \lbrace 1, \omega, \omega^{2} \rbrace, \omega = \dfrac{-1 + \sqrt{-3}}{2}是生成元;U_4 = \lbrace 1, \sqrt{-1}, -1, -\sqrt{-1} \rbrace, -\sqrt{-1}是生成元。 特别地,U2={1,−1},−1是生成元;U3={1,ω,ω2},ω=2−1+−3是生成元;U4={1,−1,−1,−−1},−−1是生成元。
定 理 1.5.2 循 环 群 的 任 一 子 群 也 是 循 环 群 . {\color{blue}定理1.5.2\quad}{\color{green}循环群的任一子群也是循环群.} 定理1.5.2循环群的任一子群也是循环群.
证 : 是 G 1 是 G = ⟨ a ⟩ 的 一 个 子 群 , 下 边 设 法 找 出 G 1 的 生 成 元 . {\color{blue}证:}是G_1是G = \lang a \rang 的一个子群,下边设法找出G_1的生成元. 证:是G1是G=⟨a⟩的一个子群,下边设法找出G1的生成元.
取 k = min { m ∈ N ∣ a m ∈ G 1 } . 去 证 G 1 = ⟨ a k ⟩ . 取k=\min \lbrace m \in \N | a^m \in G_1 \rbrace.去证G_1 = \lang a^k \rang. 取k=min{m∈N∣am∈G1}.去证G1=⟨ak⟩.
由 a k ∈ G 1 及 G 1 对 运 算 封 闭 知 ⟨ a k ⟩ ⊆ G 1 . 由a^k \in G_1及G_1对运算封闭知\lang a^k \rang \subseteq G_1. 由ak∈G1及G1对运算封闭知⟨ak⟩⊆G1.
反 之 , ∀ a m ∈ G 1 , 要 证 a m ∈ ⟨ a k ⟩ , 即 存 在 q , 反之,\forall a^m \in G_1,要证a^m \in \lang a^k \rang,即存在q, 反之,∀am∈G1,要证am∈⟨ak⟩,即存在q,
使 a m = a q k , 也 即 m = k q , 也 即 k ∣ m . 左 带 余 除 法 使a^m = a^{qk},也即m = kq,也即k|m.左带余除法 使am=aqk,也即m=kq,也即k∣m.左带余除法
m = q k + r , 0 ≤ r < k . \qquad m = qk + r, 0 \leq r \lt k. m=qk+r,0≤r<k.
则 a r = a m − q k = a m ⋅ ( a k ) − q ∈ G 1 . 若 r = ̸ 0 , 便 与 k 的 取 法 矛 盾 , 所 以 r = 0 , 即 m = k q . 这 证 明 了 G 1 ⊆ ⟨ a k ⟩ . 则a^r = a^{m-qk} = a^m \cdot (a^k)^{-q} \in G_1.若r =\not 0, 便与k的取法矛盾,所以r = 0,即m = kq.这证明了G_1 \subseteq \lang a^k \rang. 则ar=am−qk=am⋅(ak)−q∈G1.若r≠0,便与k的取法矛盾,所以r=0,即m=kq.这证明了G1⊆⟨ak⟩.
推 论 1.5.3 整 数 加 群 Z 的 子 群 如 m Z , m ∈ N ∪ { 0 } . {\color{blue}推论1.5.3\quad}{\color{green}整数加群\Z的子群如m\Z,m \in \N \cup \lbrace 0 \rbrace.} 推论1.5.3整数加群Z的子群如mZ,m∈N∪{0}.
证 : 注 意 到 这 里 的 运 算 是 加 法 . { Z ; + } 的 生 成 元 是 1. {\color{blue}证:}注意到这里的运算是加法.\lbrace \Z;+ \rbrace的生成元是1. 证:注意到这里的运算是加法.{Z;+}的生成元是1.
{ Z ; + } = { n ⋅ 1 ∣ n ∈ Z } . \qquad \lbrace \Z; + \rbrace = \lbrace n \cdot 1 | n \in \Z \rbrace. {Z;+}={n⋅1∣n∈Z}.
设 G 1 是 { Z ; + } 的 子 群 . 根 据 定 理 1.5.1 的 证 明 过 程 知 , 如 果 G 1 = ̸ { 0 } , 则 有 k ∈ N , 使 G 1 = ⟨ k ⋅ 1 ⟩ = { n ⋅ k ∣ n ∈ Z } = k Z . 设G_1是\lbrace \Z;+ \rbrace的子群.根据定理1.5.1的证明过程知,如果G_1 =\not \lbrace 0 \rbrace, 则有k \in \N,使G_1 = \lang k \cdot 1 \rang = \lbrace n \cdot k | n \in \Z \rbrace = k \Z. 设G1是{Z;+}的子群.根据定理1.5.1的证明过程知,如果G1≠{0},则有k∈N,使G1=⟨k⋅1⟩={n⋅k∣n∈Z}=kZ.
G 1 = { 0 } 可 以 写 成 G 1 = 0 Z , 而 G = k Z 通 常 写 成 m Z . G_1 = \lbrace 0 \rbrace 可以写成G_1 = 0 \Z,而G=k\Z通常写成m\Z. G1={0}可以写成G1=0Z,而G=kZ通常写成mZ.
把循环群作为代数体系来研究，重要问题是，在同构意义下，循环群有多少种？每一种的结构如何？下边的定理回答了这一问题，该定理的结论和证明方法都比较典型。
定 理 1.5.4 设 群 G = ⟨ a ⟩ . 若 G 是 无 限 阶 的 , 则 G 与 { Z ; + } 同 构 ; 若 G 是 有 限 阶 m 阶 的 , {\color{blue}定理1.5.4\quad}{\color{green}设群G=\lang a \rang.若G是无限阶的,则G与\lbrace \Z; + \rbrace同构;若G是有限阶m阶的,} 定理1.5.4设群G=⟨a⟩.若G是无限阶的,则G与{Z;+}同构;若G是有限阶m阶的,
则 G 与 { Z m ; + } 同 构 . 所 以 , 两 个 循 环 群 同 构 ⟺ 它 们 有 相 同 的 阶 . {\color{green}则G与\lbrace \Z_m; + \rbrace同构.所以,两个循环群同构 \iff 它们有相同的阶.} 则G与{Zm;+}同构.所以,两个循环群同构⟺它们有相同的阶.
证 : 我 们 借 助 于 群 的 同 态 基 本 定 理 去 完 成 证 明 . {\color{blue}证:}我们借助于群的同态基本定理去完成证明. 证:我们借助于群的同态基本定理去完成证明.
令 令 令
ϕ : { Z ; + } → G \qquad \phi: \lbrace \Z; + \rbrace \to G ϕ:{Z;+}→G
n ↦ a n \qquad \qquad n \mapsto a^n n↦an
∀ n 1 , n 2 ∈ { Z ; + } , 有 \forall n_1,n_2 \in \lbrace \Z;+ \rbrace,有 ∀n1,n2∈{Z;+},有
ϕ ( n 1 + n 2 ) = a n 1 + n 2 = a n 1 ⋅ a n 2 = ϕ ( n 1 ) ⋅ ϕ ( n 2 ) . \quad \phi(n_1+n_2) = a^{n_1+n_2} = a^{n_1} \cdot a^{n_2} = \phi(n_1) \cdot \phi(n_2). ϕ(n1+n2)=an1+n2=an1⋅an2=ϕ(n1)⋅ϕ(n2).
又 因 G 中 任 一 元 都 可 表 为 a n , 所 以 ϕ 是 一 个 满 同 态 映 射 . 又因G中任一元都可表为a^n,所以\phi是一个满同态映射. 又因G中任一元都可表为an,所以ϕ是一个满同态映射.
据 同 态 基 本 定 理 有 据同态基本定理有 据同态基本定理有
{ Z ; + } / ker ϕ ≃ G . \qquad \lbrace \Z;+ \rbrace / \ker \phi \simeq G. {Z;+}/kerϕ≃G.
再 据 推 论 1.5.3 知 , ker ϕ 必 形 如 m Z , m ∈ N ∪ { 0 } . 再据推论1.5.3知,\ker \phi 必形如m\Z,m \in \N \cup \lbrace 0 \rbrace. 再据推论1.5.3知,kerϕ必形如mZ,m∈N∪{0}.
若 m = 0 , 则 ker ϕ = { 0 } , 于 是 G ≃ { Z ; + } , 此 时 G 的 阶 为 无 限 . 若m = 0,则\ker \phi = \lbrace 0 \rbrace, 于是G \simeq \lbrace \Z;+ \rbrace,此时G的阶为无限. 若m=0,则kerϕ={0},于是G≃{Z;+},此时G的阶为无限.
若 m = ̸ 0 , 则 ker ϕ = m Z , m ∈ N , 于 是 G ≃ { Z ; + } / m Z = { Z m ; + } , 此 时 G 的 阶 为 有 限 , 即 m . 若m=\not0,则\ker \phi = m\Z,m \in \N, 于是G \simeq \lbrace \Z; + \rbrace/m\Z = \lbrace \Z_m;+\rbrace,此时G的阶为有限,即m. 若m≠0,则kerϕ=mZ,m∈N,于是G≃{Z;+}/mZ={Zm;+},此时G的阶为有限,即m.
这样，就证明了循环群可分为两大类：无限阶的与有限阶的。而无限阶循环群都与 { Z ; + } \lbrace \Z;+\rbrace {Z;+}同构，有限阶循环群又依其阶m分别与 { Z m ; + } \lbrace \Z_m;+\rbrace {Zm;+}同构。 { Z ; + } \lbrace \Z;+ \rbrace {Z;+}及 { Z m ; + } \lbrace \Z_m;+\rbrace {Zm;+}的结构我们是清楚的，从而所有循环群的结构我们都搞清楚了。
定理还表明， ∀ m ∈ N , m \forall m \in \N, m ∀m∈N,m阶循环群都是存在的，并且在同构意义下只有一个m阶循环群。这样，我们对于循环群的存在问题、分类问题、数量问题都已给出回答。这是抽象代数研究方式的一个缩影。抽象代数研究一种代数体系，就是要解决这种体系的存在问题、分类问题、数量问题。
下面讨论循环群的子群的特点。Lagrange定理(定理1.3.6)说明，对于有限群G，子群的阶一定是原来群的阶|G|的因子。对于|G|的任一因子 m 1 m_1 m1，是否一定存在G的子群 G 1 G_1 G1，使 ∣ G 1 ∣ = m 1 |G_1| = m_1 ∣G1∣=m1?答案是否定的。
但是对于循环群，相应的命题是正确的。
定 理 1.5.5 设 G 是 m 阶 循 环 群 , m 1 是 m 的 一 个 正 整 数 因 子 , 则 存 在 G 的 唯 一 的 m 1 阶 子 群 . {\color{blue}定理1.5.5\quad}{\color{green}设G是m阶循环群,m_1是m的一个正整数因子,则存在G的唯一的m_1阶子群.} 定理1.5.5设G是m阶循环群,m1是m的一个正整数因子,则存在G的唯一的m1阶子群.
证 : 因 m 阶 循 环 群 在 同 构 下 只 有 一 种 结 构 , 即 { Z m , + } , 故 不 妨 设 {\color{blue}证:}因m阶循环群在同构下只有一种结构,即\lbrace \Z_m,+\rbrace,故不妨设 证:因m阶循环群在同构下只有一种结构,即{Zm,+},故不妨设
G = { Z m ; + } = { 0 ˉ , 1 ˉ , ⋯ , ( m − 1 ) ‾ } = ⟨ 1 ˉ ⟩ . \quad G=\lbrace \Z_m;+\rbrace = \lbrace \bar 0, \bar 1, \cdots, \overline{(m-1)}\rbrace = \lang \bar 1 \rang. G={Zm;+}={0ˉ,1ˉ,⋯,(m−1)}=⟨1ˉ⟩.
因 m 1 ∣ m , 故 m m 1 是 正 整 数 , 且 0 < m m 1 ≤ m . 容 易 验 证 , 因m_1 | m,故\dfrac{m}{m_1}是正整数,且0 \lt \dfrac{m}{m_1} \leq m.容易验证, 因m1∣m,故m1m是正整数,且0<m1m≤m.容易验证,
⟨ ( m m 1 ) ⟩ ‾ = { 0 ˉ , ( m m 1 ) ‾ , ( 2 m m 1 ) ‾ , ⋯ , ( m 1 − 1 ) m m 1 ‾ } \overline{\lang (\dfrac{m}{m_1}) \rang } = \lbrace \bar 0, \overline{(\dfrac{m}{m_1})}, \overline{(2\dfrac{m}{m_1})}, \cdots, \overline{(m_1-1)\dfrac{m}{m_1}} \rbrace ⟨(m1m)⟩={0ˉ,(m1m),(2m1m),⋯,(m1−1)m1m}
是 G 的 m 1 阶 子 群 。 是G的m_1阶子群。 是G的m1阶子群。
定 理 1.5.6 设 G 是 m 阶 群 , 则 G 是 循 环 群 的 充 要 条 件 是 , 对 m 的 每 个 正 整 数 因 子 m 1 , {\color{blue}定理1.5.6\quad}{\color{green}设G是m阶群,则G是循环群的充要条件是,对m的每个正整数因子m_1,} 定理1.5.6设G是m阶群,则G是循环群的充要条件是,对m的每个正整数因子m1,
都 存 在 G 的 唯 一 的 m 1 阶 子 群 . {\color{green}都存在G的唯一的m_1阶子群.} 都存在G的唯一的m1阶子群.
这一定理的证明是1956年才给出的，有一定难度。
从 { Z m ; + } 的 结 构 中 可 看 出 , m 阶 循 环 群 的 生 成 元 的 阶 也 是 m ( 注 意 到 这 两 个 从\lbrace \Z_m;+\rbrace的结构中可看出,m阶循环群的生成元的阶也是m(注意到这两个 从{Zm;+}的结构中可看出,m阶循环群的生成元的阶也是m(注意到这两个
“ 阶 ” 字 含 义 不 同 ) . 即 如 果 G = ⟨ a ⟩ 是 m 阶 的 , 当 运 算 记 为 乘 法 时 , 必 “阶”字含义不同).即如果G=\lang a \rang是m阶的,当运算记为乘法时,必 “阶”字含义不同).即如果G=⟨a⟩是m阶的,当运算记为乘法时,必
a m = e , a k = ̸ e , 0 < k < m , \qquad a^m = e, a^k =\not e, 0 < k < m, am=e,ak≠e,0<k<m,
⟨ a ⟩ = { a 0 , a 1 , ⋯ , a m − 1 } . \qquad \lang a \rang = \lbrace a^0,a^1, \cdots, a^{m-1} \rbrace. ⟨a⟩={a0,a1,⋯,am−1}.
当 运 算 记 为 加 法 时 , 必 当运算记为加法时,必 当运算记为加法时,必
m a = 0 , k a = ̸ 0 , 0 < k < m , \qquad ma = 0,ka =\not 0, 0 < k < m, ma=0,ka≠0,0<k<m,
⟨ a ⟩ = { 0 ⋅ a , 1 ⋅ a , ⋯ , ( m − 1 ) ⋅ a } . \qquad \lang a \rang = \lbrace 0 \cdot a, 1 \cdot a, \cdots, (m-1) \cdot a \rbrace. ⟨a⟩={0⋅a,1⋅a,⋯,(m−1)⋅a}.
命 题 1.5.7 有 限 群 G 的 任 一 元 素 a 的 阶 是 有 限 的 , 且 是 G 的 阶 的 因 子 . {\color{blue}命题1.5.7\quad}{\color{green}有限群G的任一元素a的阶是有限的,且是G的阶的因子.} 命题1.5.7有限群G的任一元素a的阶是有限的,且是G的阶的因子.
证 : 设 a 的 阶 为 d , 群 运 算 不 妨 记 为 乘 法 , 则 有 {\color{blue}证:}设a的阶为d,群运算不妨记为乘法,则有 证:设a的阶为d,群运算不妨记为乘法,则有
⟨ a ⟩ = { e , a 1 , ⋯ , a d − 1 } . \qquad \lang a \rang = \lbrace e, a^{1}, \cdots, a^{d-1} \rbrace. ⟨a⟩={e,a1,⋯,ad−1}.
所 以 G 的 子 群 ⟨ a ⟩ 的 阶 也 为 d . 据 定 理 1.3.6 立 得 结 论 . 所以G的子群\lang a \rang 的阶也为d.据定理1.3.6立得结论. 所以G的子群⟨a⟩的阶也为d.据定理1.3.6立得结论.
循 环 群 G = ⟨ a ⟩ , 可 看 作 G 中 一 个 元 素 a 生 成 的 子 群 , 其 中 元 素 形 为 { a n ∣ n ∈ Z } . 由 于 a n 中 的 n 可 以 是 正 整 数 、 负 整 数 和 零 , 所 以 G 中 的 元 素 也 可 以 看 作 { a , a − 1 } 循环群G = \lang a \rang,可看作G中一个元素a生成的子群,其中元素形为\lbrace a^n | n \in \Z \rbrace.由于a^n中的n可以是正整数、负整数和零,所以G中的元素也可以看作\lbrace a, a^{-1} \rbrace 循环群G=⟨a⟩,可看作G中一个元素a生成的子群,其中元素形为{an∣n∈Z}.由于an中的n可以是正整数、负整数和零,所以G中的元素也可以看作{a,a−1}
中 任 一 有 限 多 个 元 素 的 乘 积 , 即 x 1 x 2 ⋯ x m , 其 中 x 1 , ⋯ , x m ∈ { a , a − 1 } . 中任一有限多个元素的乘积,即x_1x_2 \cdots x_m,其中x_1,\cdots,x_m \in \lbrace a, a^{-1} \rbrace. 中任一有限多个元素的乘积,即x1x2⋯xm,其中x1,⋯,xm∈{a,a−1}.
定 义 1.5.2 设 S 是 群 G 中 一 个 非 空 子 集 , 记 S − 1 = { a − 1 ∣ a ∈ S } , 则 {\color{blue}定义1.5.2\quad}设S是群G中一个非空子集,记S^{-1}=\lbrace a^{-1}|a \in S \rbrace,则 定义1.5.2设S是群G中一个非空子集,记S−1={a−1∣a∈S},则
{ x 1 ⋯ x m ∣ x 1 , ⋯ , x m ∈ S ∪ S − 1 } . \qquad \lbrace x_1 \cdots x_m | x_1, \cdots, x_m \in S \cup S^{-1} \rbrace. {x1⋯xm∣x1,⋯,xm∈S∪S−1}.
是 G 的 一 个 子 群 , 称 为 S 生 成 的 子 群 , 记 为 ⟨ S ⟩ . 是G的一个子群,称为{\color{blue}S生成的子群},记为\lang S \rang. 是G的一个子群,称为S生成的子群,记为⟨S⟩.
其 中 “ ⟨ S ⟩ 是 G 的 子 群 ” 一 点 , 用 定 理 1.3.1 容 易 验 证 。 其中“\lang S \rang是G的子群”一点,用定理1.3.1容易验证。 其中“⟨S⟩是G的子群”一点,用定理1.3.1容易验证。
若 ⟨ a ⟩ ⊆ G , 则 ⟨ a ⟩ 可 看 作 G 中 所 有 包 含 { a } 的 子 群 的 交 , 它 是 G 中 包 含 { a } 的 最 小 的 子 群 . 若\lang a \rang \subseteq G,则\lang a \rang可看作G中所有包含\lbrace a \rbrace的子群的交,它是G中包含\lbrace a \rbrace的最小的子群. 若⟨a⟩⊆G,则⟨a⟩可看作G中所有包含{a}的子群的交,它是G中包含{a}的最小的子群.
类 似 地 , 若 S 是 G 中 非 空 子 集 , 则 ⟨ S ⟩ 可 看 作 G 中 所 有 包 含 S 的 子 群 的 交 , 它 是 G 中 类似地,若S是G中非空子集,则\lang S \rang可看作G中所有包含S的子群的交,它是G中 类似地,若S是G中非空子集,则⟨S⟩可看作G中所有包含S的子群的交,它是G中
包 含 S 的 最 小 的 子 群 . 包含S的最小的子群. 包含S的最小的子群.
如 果 ⟨ S ⟩ = G , 则 称 S 为 群 G 的 一 个 生 成 组 . 如 果 群 G 有 一 个 有 限 子 集 S 作 为 G 的 生 成 组 , 则 称 如果\lang S \rang = G,则称S为群G的一个{\color{blue}生成组}.如果群G有一个有限子集S作为G的生成组,则称 如果⟨S⟩=G,则称S为群G的一个生成组.如果群G有一个有限子集S作为G的生成组,则称
G 为 有 限 生 成 群 . 有 限 群 自 身 就 可 以 看 作 一 个 生 成 组 , 所 以 , 有 限 群 一 定 是 有 限 生 G为{\color{blue}有限生成群}.有限群自身就可以看作一个生成组,所以,有限群一定是有限生 G为有限生成群.有限群自身就可以看作一个生成组,所以,有限群一定是有限生
成 群 , 但 有 限 生 成 群 不 一 定 是 有 限 群 , 例 如 { Z ; + } = ⟨ a ⟩ 就 是 无 限 生 成 群 . 成群,但有限生成群不一定是有限群,例如\lbrace \Z;+\rbrace = \lang a \rang 就是无限生成群. 成群,但有限生成群不一定是有限群,例如{Z;+}=⟨a⟩就是无限生成群.