【抽象代数】同态同构、循环群
同态与同构
同态定义
两个代数系统 ( A , o ) , ( A ‾ , o ‾ ) (A,o),(\overline{A},\overline{o}) (A,o),(A,o)，如果存在映射 φ : A → A ‾ \varphi : A \rightarrow \overline{A} φ:A→A，若对于任意的 a , b ∈ A a,b \in A a,b∈A，都有 φ ( a o b ) = φ ( a ) o ‾ φ ( b ) \varphi(a \ o \ b )=\varphi(a) \overline{o} \varphi(b) φ(a o b)=φ(a)oφ(b)，则称 φ \varphi φ是从 A A A到 A ‾ \overline{A} A的同态映射。满同态映射也称为同态满射。若 A A A到 A ‾ \overline{A} A存在满同态，则称两个代数系统是同态的，记为 A A A ~ A ‾ \overline{A} A
性质
1）两个代数系统同态 A A A ~ A ‾ \overline{A} A，若A上的运算满足交换律，则 A ‾ \overline{A} A上的运算也满足交换律；结合律也同样适用。
2）同态映射的复合映射必定是同态映射：满同态的复合一定是满同态，单同态的复合一定是单同态。
同构与自同构定义
在同态定义的基础上，如果 φ \varphi φ既是双射又是同态映射，则称 φ \varphi φ是从 A A A到 A ‾ \overline{A} A的同构映射。若 A A A到 A ‾ \overline{A} A存在同构映射，则称两个代数系统是同构的，记为 A ≃ A ‾ A \simeq \overline{A} A≃A
特别的，当 A ‾ = A , o ‾ = o \overline{A} = A , \overline{o} = o A=A,o=o，则 φ : A → A \varphi :A \rightarrow A φ:A→A为自同构。
性质
1） A ≃ A A \simeq A A≃A
2）若 A ≃ A ‾ A \simeq \overline{A} A≃A,则 A ‾ ≃ A \overline{A} \simeq A A≃A
3）同构的复合映射必定是同构
4）两个代数系统同构 A ≃ A ‾ A \simeq \overline{A} A≃A ， A A A 和 A ‾ \overline{A} A具有完全相同的运算律（交换律、结合律、左右消去律）
- 如果两个代数系统对运算律P的适应不同，则两个代数系统不同构。
群同态、同构定义
设 { G ; ⋅ } \{G;·\} {G;⋅}和 { G ′ ; ∗ } \{G^{'};*\} {G′;∗}是两个群，如果映射 f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) , ∀ a , b ∈ G f(a ·b) = f(a) *f(b),\forall a,b \in G f(a⋅b)=f(a)∗f(b),∀a,b∈G满足,则称f是G到G’的群同态，如果f单射，则称f为单同态；如果f是双射，则称为f是G到G’的群同构，群G和群G’同构，记为 G ≃ G ′ G \simeq G' G≃G′
例：
设 H ⊲ G , π : G → G / H H \lhd G , \pi:G \rightarrow G/H H⊲G,π:G→G/H为自然映射， π \pi π 为群的同态，称为自然同态。
性质
1）设 f : G → G ’ f:G \rightarrow G’ f:G→G’为群的同态，则 f ( e 1 ) = e 2 , f ( a − 1 ) = f ( a ) − 1 f(e_1)=e_2,f(a^{-1})=f(a)^{-1} f(e1)=e2,f(a−1)=f(a)−1
2）设 f : G → G ’ f:G \rightarrow G’ f:G→G’为群的同态，则 f ( G ) < G ′ f(G)
3）若 f 、 g f、g f、g为同构，则 g f gf gf为同构， f − 1 : G ′ → G f^{-1}:G' \rightarrow G f−1:G′→G为同构。
核和像
设 f : G → G ′ f : G \rightarrow G' f:G→G′ 是群同态，分别称集合
K e r f = { a ∈ G ∣ f ( a ) = e ′ } , I m ( f ) = f ( G ) = { f ( a ) ∣ a ∈ G } Ker f = \{a \in G | f(a) = e'\}, Im(f) = f(G) = \{f(a)|a \in G \} Kerf={a∈G∣f(a)=e′},Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G}
为同态f的核和像。
性质
1）群同态的核一定是正规子群，记作 k e r f ⊲ G kerf \lhd G kerf⊲G
群G的子群H是正规子群当且仅当H是G到某个群的一个同态的核。
2）设 H ⊲ G , π : G → G / H H \lhd G ,\pi :G \rightarrow G/H H⊲G,π:G→G/H为自然同态，则 k e r π = H ker \pi = H kerπ=H
群同态的基本定理
1）设 f : G → G ′ f:G \rightarrow G' f:G→G′的满同态，则 G / k e r f ≃ G ′ G/kerf \simeq G' G/kerf≃G′
2） f : G → G ′ f: G \rightarrow G' f:G→G′的单同态 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ k e r f = { e } kerf = \{e\} kerf={e}
3） f ： G → G ′ f：G\rightarrow G' f：G→G′的群同态，则 G / k e r f ≃ f ( G ) G/kerf \simeq f(G) G/kerf≃f(G)
4）设 f ： G → G ′ f：G\rightarrow G' f：G→G′的满同态， N = k e r f N = kerf N=kerf
- f f f建立 G G G包含N的子群与 G ′ G' G′的子群之间的一一对应
- 上述对应将正规子群对应到 G ′ G' G′的正规子群
- 若 H ⊲ G 1 , N ⊆ H H\lhd G_1 , N \subseteq H H⊲G1,N⊆H，则 G / H ≃ G ′ / f ( H ) G/H\simeq G'/f(H) G/H≃G′/f(H)
5）设 N ⊲ G ， π : G → G / N N \lhd G，\pi: G \rightarrow G/N N⊲G，π:G→G/N为自然同态， H ⊲ G H \lhd G H⊲G
- HN为G中包含N的子群，且 π ( H N ) = π ( H ) = H N / N \pi (HN) = \pi(H) = HN /N π(HN)=π(H)=HN/N
- ( H ∩ N ) ⊲ H ， k e r ( π ∣ a ∈ H ) = H ∩ N (H \cap N )\lhd H ，ker(\pi|a\in H) = H \cap N (H∩N)⊲H，ker(π∣a∈H)=H∩N
- H N / N ≃ H / H ∩ N HN / N \simeq H/_{H \cap N} HN/N≃H/H∩N
循环群
定义
设G为群，若存在 a ∈ G a \in G a∈G，使得 G = { a n ∣ n ∈ Z } G = \{a^n | n \in Z\} G={an∣n∈Z}，则称G为循环群，记作 G = < a > G = G=<a> ,a为生成元。
写成加法群，符号 < a > = { m a ∣ m ∈ Z } = \{ma|m \in Z\} <a>={ma∣m∈Z}
例：
{ Z ; + } \{Z ;+\} {Z;+}为循环群，1和-1都是生成元。
U m = { c ∈ C ∗ ∣ c m = 1 } U_m = \{c \in \mathcal{C}^{*} | c^m = 1\} Um={c∈C∗∣cm=1}对乘法成群，为循环群，本原根为生成元。 U 2 = { 1 , − 1 } , − 1 U_2 = \{1,-1\},-1 U2={1,−1},−1为生成元， U 3 = { 1 , w , w 2 } , w = − 1 + − 3 2 , w U_3 = \{1,w,w^2\},w = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2},w U3={1,w,w2},w=2−1+−3,w为生成元。
凡是循环群必是阿贝尔群
循环群的子群也是循环群
{ Z ; + } \{Z;+\} {Z;+}的任何子群形如 m Z , m ≥ 0 mZ ,m \geq 0 mZ,m≥0
性质
1）设 G G G为循环群，若 ∣ G ∣ = ∞ |G| = \infty ∣G∣=∞，则 G ≃ { Z ; + } G \simeq \{Z;+\} G≃{Z;+}；若 ∣ G ∣ = m > 0 |G|=m >0 ∣G∣=m>0，则 G ≃ Z / m Z = Z m ≃ U m G \simeq Z/_{mZ} = Z_m \simeq U_m G≃Z/mZ=Zm≃Um
2）两个循环群同构 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 两个循环群的阶相同
3） G = < a > , ∣ G ∣ = m , G = ,|G|=m, G=<a>,∣G∣=m,若n为m的正整数因子，则G中存在唯一的n阶子群。
4）设G为有限群， ∣ G ∣ = m |G|=m ∣G∣=m，则G为循环群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 对m的任何正整数的因子n，存在唯一的n阶子群。
5）设 ∣ G ∣ = m , a ∈ G |G|=m,a \in G ∣G∣=m,a∈G，则a的阶 d ∣ m d | m d∣m