二分图相关定理及其证明(最小点覆盖+最小路径覆盖+最大独立集+最小覆盖集)

①最小路径覆盖:


给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。

 

路径覆盖和二分图匹配的关系:


最小路径覆盖=|G|-最大匹配数


上述公式中最大匹配数是这样来的:


对于G中每一个节点x,建立节点x1,x2。若x- >y存在边,则x1与y2之间连一条无向边,求这个二分图的最大匹配数即可。


证明如下:

首先,若最大匹配数为0,则二分图中无边,也就是说有向图G中不存在边,那么

显然:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数=|G|-0=|G|。


若此时增加一条匹配边x1--y2,则在有向图|G|中,x、y在同一条路径上,最小路径覆盖数减少一个。


继续增加匹配边,每增加一条,最小路径覆盖数减少一个,则公式:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数得证。

②最小点覆盖


二分图中,选取最少的点数,使这些点和所有的边都有关联(把所有的边的覆盖),叫做最小点覆盖。

最小点覆盖数 = 最大匹配数


证明(摘自http://www.matrix67.com/blog/archives/116)


假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配(假设它等于M),下面给出的方法


以告诉我们,选哪M个点可以覆盖所有的边




    匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点,走出一条使得“一条没被匹


配、一条已经匹配过,再下一条又没匹配这样交替地出现”的路(交错轨,增广


路)。但 是,现在我们已经找到了最大匹配,已经不存在这样的路了。换句话


说,我们能寻找到很多可能的增广路,但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的


点”而失败。我们给所有这样的点打上记号:从右边的所有没有匹配过的点出发,


按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点(最后走出的路径是很多条不完


整的增广路)。那么些点组成了最小覆盖点集:右边所有没有打上记号的点,加


上左边已经有记号的点  



看图,右图中展示了两条这样的路径,标记了一共6个点(用 “√”表示)。那么,


红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。




    首先,为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢?答案很简单,因为每个点


是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的,那么它早就


当成起点被标记了;如果左边的哪个点是没有匹配过的,那就走不到它那里去


(否则就到了一条完整的增广路)。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的,


同时右端点是 没标记的(不然的话右边的点就可以经过这条边到达了)。因此,


最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。




    其次,为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢?答案同样简单。不可能存在


某一条边,它的左端点是没有标记的,而右端点是有标记的。原因如下:如果这条


不属于我们的匹配边,那么左端点就可以通过这条边到达(从而得到标记);如


果这条边属于我们的匹配边,那么右端点不可能是一条路径的起点,于是它的标记


只能是从这条边的左端点过来的(想想匹配的定义),左端点就应该有标记。



    最后,为什么这是最小的点覆盖集呢?这当然是最小的,不可能有比M还小的点


盖集了,因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点(再次回到匹配的定义)。



③最大独立集=总数-最小覆盖集证明:


(摘自:http://m.blog.csdn.NET/article/details?id=50011363)

二分图相关定理及其证明(最小点覆盖+最小路径覆盖+最大独立集+最小覆盖集)_第1张图片

上图,我们用两个红色的点覆盖了所有边。我们证明的前提条件是已经达到最小覆盖。


即条件1.已经覆盖所有边,条件2.所用的点数最小



首先我们来证明蓝色点组成的是一个独立集:如果有两个蓝色点间有边相连,那么这条


边则没有被覆盖,则与条件1矛盾。因此是独立集。



再来证明这个独立集最大: 如果我们要再增加这个独立集中的点,则需要把某个红点变


成蓝点。而由最小覆盖数=最大匹配数的证明我们知道,每一个红点是最大匹配中的一


个匹配点,也就是说每个红点至少连接了一条边。因此当我们将某个红点变成蓝点


时,我们需要牺牲的蓝点的个数是大于等于1的。也就是说,我们最多只能找到数量相等


的其他独立集,而无法找到数量更大的。因此蓝色点集必定为最大独立集。 蓝色点数 =


总点数 - 红色点数,即最大独立集=总数-最小覆盖集




由上述定理,同理可知:



最大独立集+最小点权覆盖=总权值。



 又∵最小点权覆盖=最小割


 

    ∴最大独立集=最小割。




下篇文章我会写bzoj1475,求最大独立集例题。

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