数论分块

面对这样一个问题
$$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$
可以选择用O(n)的复杂度去暴力求解，但我们可以发现n/i的值在某一段中是相等的，比方说5/ 3， 5/ 4 ，5/5的大小都为1，所以可以用这一段的长度Len 乘以这一段的值就是可以快速求和。

代码:

int ans = 0;
for(int l = 1, r = 0; l <= n; l = r + 1) {
    r = n / (n / l);  			// 求区间的右端，这是一个数学规律 
    ans += (r - l + 1) * (n / l);
} 	

代码很简短，但是数论分块往往是隐藏在一些数学公式中的。

就比方说下面这个式子：
$$\sum _{i=1}^{n}k\%i$$
看上去和数论分块的那个形式不大一样，但是知道
$$k\%i=k-(k/i)i$$
就可以把原来的式子化成
$$nk-\sum _{i=1}^n(k/i)i$$
后面就用等差数列求和就行了。

#include 

using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    // freopen("i.txt", "r", stdin);
    ll n ,k;
    cin >> n >> k;
    ll ans = n * k;
    for(ll l = 1,r = 0; l <= n; l=r+1) {
        if(k / l != 0) r =s min(k / (k / l), n);
        else r = n;    
        ans -= (k / l) * (r - l + 1) * (l + r) / 2;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}