凸优化学习笔记 12：KKT条件

上一小节讲了拉格朗日函数，可以把原始问题转化为对偶问题，并且对偶问题是凸的。我们还得到了弱对偶性和强对偶性的概念，并且提到了 Slater Condition 保证凸问题的强对偶性成立，并且给出了一些几何的直观解释。那么在这一节，我们将引出著名的 KKT 条件，它给出了最优解需要满足的必要条件，是求解优化问题最优解的一个重要方式。

有需要的话可以参考前面两节内容
凸优化学习笔记 10：凸优化问题
凸优化学习笔记 11：对偶原理

1. KKT 条件

我们首先回顾一下拉格朗日函数，考虑下面的优化问题
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m\\ & h_i(x)=0,i=1,\dots ,p\end{array}$$

那么他的拉格朗日函数就是
$$L(x,\lambda ,\nu )=f_0(x)+{\lambda }^{T}f(x)+{\nu }^{T}h(x)$$

首先，我们看对偶函数
$$g(\lambda ,\nu )=\underset{x\in \mathcal{D}}{\inf }\left(f_0(x)+{\lambda }^{T}f(x)+{\nu }^{T}h(x)\right)$$

对偶问题实际上就是
$$d^{\star }=\underset{\lambda ,\nu }{\sup }g(\lambda ,\nu )=\underset{\lambda ,\nu }{\sup }\underset{x}{\inf }L(x,\lambda ,\nu )$$

然后我们再看原问题，由于 $\lambda ⪰0,f(x)⪯0$，我们有
$$f_0(x)=\underset{\lambda ,\nu }{\sup }L(x,\lambda ,\nu )$$

原问题的最优解实际上就是
$$p^{\star }=\underset{x}{\inf }{f}_0(x)=\underset{x}{\inf }\underset{\lambda ,\nu }{\sup }L(x,\lambda ,\nu )$$

弱对偶性 $p^{\star }\ge d^{\star }$ 实际上说的是什么呢？就是 max-min 不等式
$$\underset{x}{\inf }\underset{\lambda ,\nu }{\sup }L(x,\lambda ,\nu )\ge \underset{\lambda ,\nu }{\sup }\underset{x}{\inf }L(x,\lambda ,\nu )$$

强对偶性说的又是什么呢？就是上面能够取等号
$$\underset{x}{\inf }\underset{\lambda ,\nu }{\sup }L(x,\lambda ,\nu )=\underset{\lambda ,\nu }{\sup }\underset{x}{\inf }L(x,\lambda ,\nu )=L(x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })$$
实际上 $x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star }$ 就是拉格朗日函数的鞍点！！！（数学家们真实太聪明了！！！妙啊！！！）那么也就是说强对偶性成立等价于拉格朗日函数存在鞍点(在定义域内)。

好，如果存在鞍点的话，我们怎么求解呢？还是看上面取等的式子
$$\begin{array}{rl}{f}_0(x^{\star })=g({\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })& =\underset{x}{\inf }\left(f_0(x)+{\lambda }^{\star T}f(x)+{\nu }^{\star T}h(x)\right)\\ & \le f_0(x^{\star })+{\lambda }^{\star T}f(x^{\star })+{\nu }^{\star T}h(x^{\star })\\ & \le f_0(x^{\star })\end{array}$$

这两个不等号必须要取到等号，而第一个不等号取等条件应为
$${\nabla }_x\left(f_0(x)+{\lambda }^{\star T}f(x)+{\nu }^{\star T}h(x)\right)=0$$

第二个不等号取等条件为
$${\lambda }_i^{\star }{f}_i(x^{\star })=0,\forall i$$

同时，由于 $x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star }$ 还必须位于定义域内，需要满足约束条件，因此上面的几个条件共同构成了 KKT 条件。

KKT 条件

1. 原始约束 $f_i(x)\le 0,i=1,...,m,h_i(x)=0,i=1,...,p$
2. 对偶约束 $\lambda ⪰0$
3. 互补性条件(complementary slackness) ${\lambda }_i{f}_i(x)=0,i=1,...,m$
4. 梯度条件

$$\nabla f_0(x)+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i\nabla f_i(x)+\sum _{i=1}^p{\nu }_i\nabla h_i(x)=0$$

2. KKT 条件与凸问题

Remarks(重要结论)

1. 前面推导没有任何凸函数的假设，因此不论是否为凸问题，如果满足强对偶性，那么最优解一定满足 KKT 条件。
2. 但是反过来不一定成立，也即 KKT 条件的解不一定是最优解，因为如果 $L(x,{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })$ 不是凸的，那么 ${\nabla }_{x}L=0$ 并不能保证 $g({\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })={\inf }_{x}L(x,{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })\ne L(x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })$，也即不能保证 $x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star }$ 就是鞍点。

但是如果我们假设原问题为凸问题的话，那么 $L(x,{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })$ 就是一个凸函数，由梯度条件 ${\nabla }_{x}L=0$ 我们就能得到 $g({\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })=L(x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })={\inf }_{x}L(x,{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })$，另一方面根据互补性条件我们有此时 $f_0(x^{\star })=L(x^{\star },{\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })$，因此我们可以得到一个结论

Remarks(重要结论)：

1. 考虑原问题为凸的，那么若 KKT 条件有解 $\tilde{x},\tilde{\lambda },\tilde{\nu }$，则原问题一定满足强对偶性，且他们就对应原问题和对偶问题的最优解。
2. 但是需要注意的是，KKT 条件可能无解！此时就意味着原问题不满足强对偶性！

假如我们考虑上一节提到的 SCQ 条件，如果凸优化问题满足 SCQ 条件，则意味着强对偶性成立，则此时有结论

Remarks(重要结论)：

如果 SCQ 满足，那么 $x$ 为最优解当且仅当存在 $\lambda ,\nu$ 满足 KKT 条件！

例子 1：等式约束的二次优化问题 $P\in S_{+}^n$
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& (1/2)x^{T}Px+q^{T}x+r\\ \text{ subject to }& Ax=b\end{array}$$

那么经过简单计算就可以得到 KKT 条件为
$$\left[\begin{array}{cc}P& A^T\\ A& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}^{\star }\\ {\nu }^{\star }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-q\\ b\end{array}\right]$$

例子 2：注水问题
$$\begin{array}{rl}& \text{ minimize }-\sum _{i=1}^n\log \left({\alpha }_i+x_i\right)\\ & \text{ subject to }x⪰0,1^{T}x=1\end{array}$$

根据上面的结论，$x$ 是最优解当且仅当 $x⪰0,1^{T}x=1$，且存在 $\lambda ,\nu$ 满足
$$\lambda ⪰0,{\lambda }_i{x}_i=0,\frac{1}{x_i+{\alpha }_i}+{\lambda }_i=\nu$$

根据互补性条件 ${\lambda }_i{x}_i=0$ 分情况讨论可以得到

• 如果 $\nu <1/{\alpha }_i$：${\lambda }_i=0,x_i=1/\nu -{\alpha }_i$
• 如果 $\nu \ge 1/{\alpha }_i$：${\lambda }_i=\nu -1/{\alpha }_i,x_i=0$

整理就可以得到 $1^{T}x={\sum }_i\max \{0,1/\nu -{\alpha }_i\}$，这个式子怎么理解呢？就像向一个池子里注水一样

3. 扰动与敏感性分析

现在我们再回到原始问题
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m\\ & h_i(x)=0,i=1,\dots ,p\end{array}$$

我们引入了对偶函数 $g(\lambda ,\nu )$，那这两个参数 $\lambda ,\nu$ 有什么含义吗？假如我们把原问题放松一下
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)\le u_i,i=1,\dots ,m\\ & h_i(x)=v_i,i=1,\dots ,p\end{array}$$

记最优解为 $p^{\star }(u,v)=\min f_0(x)$，现在对偶问题变成了
$$\begin{array}{rl}\max & g(\lambda ,\nu )-u^T\lambda -v^T\nu \\ \text{s.t.}& \lambda ⪰0\end{array}$$

假如说原始对偶问题的最优解为 ${\lambda }^{\star },{\nu }^{\star }$，松弛后的对偶问题最优解为 $\tilde{\lambda },\tilde{\nu }$，那么根据弱对偶性原理，有
$$\begin{array}{rl}{p}^{\star }(u,v)& \ge g(\tilde{\lambda },\tilde{\nu })-u^T\tilde{\lambda }-v^T\tilde{\nu }\\ & \ge g({\lambda }^{\star },{\nu }^{\star })-u^T{\lambda }^{\star }-v^T{\nu }^{\star }\\ & =p^{\star }(0,0)-u^T{\lambda }^{\star }-v^T{\nu }^{\star }\end{array}$$

这像不像关于 $u,v$ 的一阶近似？太像了！实际上，我们有
$${\lambda }_i^{\star }=-\frac{\partial p^{\star }(0,0)}{\partial u_i},{\nu }_i^{\star }=-\frac{\partial p^{\star }(0,0)}{\partial v_i}$$

4. Reformulation

前面将凸优化问题的时候，我们提到了Reformulation的几个方法来简化原始问题(参考凸优化学习笔记 10：凸优化问题)，比如消去等式约束，添加等式约束，添加松弛变量，epigraph等等。现在当我们学习了对偶问题，再来重新看一下这些方法。

4.1 引入等式约束

例子 1：考虑无约束优化问题 $\min f(Ax+b)$，他的对偶问题跟原问题是一样的。如果我们引入等式约束，原问题和对偶问题变为
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f_0(y)\\ \text{subject to}& Ax+b-y=0\end{array}\begin{array}{rl}\text{minimize}& b^T\nu -f_0^{\ast }(\nu )\\ \text{subject to}& A^T\nu =0\end{array}$$

例子 2：考虑无约束优化 $\min \Vert Ax-b\Vert$，类似的引入等式约束后，对偶问题变为
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& b^T\nu \\ \text{subject to}& A^T\nu =0,\Vert \nu {\Vert }_{\ast }\le 1\end{array}$$

4.2 显示约束与隐式约束的相互转化

例子 3：考虑原问题如下，可以看出来对偶问题非常复杂

$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& c^{T}x\\ \text{subject to}& Ax=b\\ & -1⪯x⪯1\end{array}\begin{array}{rl}\text{maximize}& -b^T\nu -1^T{\lambda }_1-1^T{\lambda }_2\\ \text{subject to}& c+A^T\nu +{\lambda }_1-{\lambda }_2=0\\ & {\lambda }_1⪰0,{\lambda }_2⪰0\end{array}$$

如果我们原问题的不等式约束条件转化为隐式约束，则有
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f_0(x)=\{\begin{array}{ll}{c}^{T}x& \Vert x{\Vert }_{\infty }⪯1\\ \infty & \text{ otherwise }\end{array}\\ \text{subject to}& Ax=b\end{array}$$

然后对偶问题就可以转化为无约束优化问题
$$\text{maximize}-b^T\nu -\Vert A^T\nu +c{\Vert }_1$$

4.3 转化目标函数与约束函数

例子 4：还考虑上面提到的无约束优化问题 $\min \Vert Ax-b\Vert$，我们可以把目标函数平方一下，得到
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& (1/2)\Vert y{\Vert }^2\\ \text{subject to}& Ax-b=y\end{array}$$

然后对偶问题就可以转化为
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& (1/2)\Vert \nu {\Vert }_{\ast }^2+b^T\nu \\ \text{subject to}& A^T\nu =0\end{array}$$

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前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
凸优化学习笔记 3：广义不等式
凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
凸优化学习笔记 6：共轭函数
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
凸优化学习笔记 9：广义凸函数
凸优化学习笔记 10：凸优化问题
凸优化学习笔记 11：对偶原理