最优化方法：共轭梯度法（Conjugate Gradient）

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共轭梯度法（Conjugate Gradient）

共轭梯度法（英语：Conjugate gradient method），是求解数学特定线性方程组的数值解的方法，其中那些矩阵为对称和正定。共轭梯度法是一个迭代方法，它适用于稀疏矩阵线性方程组，因为这些系统对于像Cholesky分解这样的直接方法太大了。这种方程组在数值求解偏微分方程时很常见。共轭梯度法也可以用于求解无约束的最优化问题。

在数值线性代数中，共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组的迭代方法。共轭梯度法可以从不同的角度推导而得，包括作为求解最优化问题的共轭方向法的特例，以及作为求解特征值问题的Arnoldi/Lanczos迭代的变种。

双共轭梯度法提供了一种处理非对称矩阵情况的推广。

基础

共轭向量

显然,共轭向量是线性无关向量.

初等变分原理

最速下降算法的有关性质

范数的‖・‖A的定义为‖x‖A=(Ax,x)。

上面定理表明,最速下降法从任何一向量x(0)出发,迭代产生的数列总是收敛到原方程Ax=b的解.而收敛速度的快慢则由A的特征值分布所决定.当A的最小特征值和最大特征值相差很大时λ1<<λn,最速下降法收敛速度很慢,很少用于实际计算.

分析最速下降法收敛较慢的原因,可以发现,负梯度方向从局部来看是二次函数的最快下降方向,但是从整体来看,却并非最好.对于对称正定矩阵A,共轭梯度法考虑选择关于A共轭的向量p1,p2,...代替最速(0)下降法中的负梯度方向,使迭代法对任意给定的初始点x具有有限步收敛性,即经有限步就可以(在理论上)得到问题的准确解.

皮皮blog

共轭梯度算法

计算共轭梯度算法同时构造出关于A共轭的向量pi

求解Ax = b的算法，其中A是实对称正定矩阵。

x ₀ := 0

k := 0

r ₀ := b-Ax

repeat until r _k is "sufficiently small":

k := k + 1

if k = 1

p ₁ := r ₀

else

pk:=rk− 1+rk− 1⊤ rk− 1rk− 2⊤ rk− 2 pk− 1{\displaystyle p_{k}:=r_{k-1}+{\frac {r_{k-1}^{\top }r_{k-1}}{r_{k-2}^{\top }r_{k-2}}}~p_{k-1}}

end if

α k:=rk− 1⊤ rk− 1pk⊤ Apk{\displaystyle \alpha _{k}:={\frac {r_{k-1}^{\top }r_{k-1}}{p_{k}^{\top }Ap_{k}}}}

x _k := x _k-1 + α _k p _k

r _k := r _k-1 - α _k A p _k

end repeat

结果为 x _k

或者

共轭梯度法评价

　　共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点， 共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

　　下图为共轭梯度法和梯度下降法搜索最优解的路径对比示意图：

 

注：绿色为梯度下降法，红色代表共轭梯度法

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ref: [wiki 共轭梯度法] [wiki 共轭梯度法的推导]

[数值分析 钟尔杰]