稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介


稳定状态模型系列博文

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介 :自治系统、动力系统、相平面、相图、轨线 、  奇点、孤立奇点;

稳定状态模型 (二):再生资源的管理和开发:资源增长模型 、资源开发模型 、经济效益模型、 种群的相互竞争模型

稳定状态模型 (三):Volterra 模型


目录

自治系统、动力系统                    相平面、相图、轨线                            奇点、孤立奇点


虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述,但是对于某些 实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值,在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程,而可以利用微分方程稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。

本章先介绍平衡状态与稳定性的概念,然后列举几个这方面的建模例子。

自治系统、动力系统

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第1张图片

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第2张图片

 相平面、相图、轨线

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第3张图片

奇点、孤立奇点

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第4张图片

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第5张图片

 定义 5         一个奇点不是稳定的,则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统(3)有下述定理。

定理2    设 x = x(t)是系统(3)的通解。则

(i)如果系统(3)的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的,则系统(3)的 零解是渐近稳定的。

(ii)如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的,则系统(3)的零解是不稳 定的。

(iii)如果 A 的一切特征根的实部都不是正的,但有零实部,则系统(3)的零解 可能是稳定的,也可能是不稳定的,但总不会是渐近稳定的。

定理2 告诉我们:系统(3)的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

对于非线性系统,一般不可能找出其积分曲线或轨迹,也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难,在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统,用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第6张图片

称为系统(2)的线性近似。一开始,人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现,这种看法是不对的,或至少说是不全面的,非线性系统中的 许多性质,在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题,也要在一定 条件下,才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题,我们有下述定理:

定理 3   如果系统(4)的零解是渐近稳定的,或不稳定的,则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而,如果系统(4)的零解是稳定的,则原系统的零解是不 定的,即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第7张图片

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介_第8张图片


稳定状态模型系列博文

稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介 :自治系统、动力系统、相平面、相图、轨线 、  奇点、孤立奇点;

稳定状态模型 (二):再生资源的管理和开发:资源增长模型 、资源开发模型 、经济效益模型、 种群的相互竞争模型

稳定状态模型 (三):Volterra 模型


 

你可能感兴趣的:(matlab数学建模)