计算逆元的三种方法
计 算 逆 元 的 三 种 方 法 计算逆元的三种方法 计算逆元的三种方法
一、首先是两种O(log)时间求单个数的逆元
我们要求 a a a在模 p p p意义下的逆元
其中 a a a是小于 p p p的正整数， p p p是一个素数
① 费马小定理：
由费马小定理 a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a^{p-1}≡1\ (mod\ p) ap−1≡1 (mod p)可以得到：
a ⋅ a p − 2 ≡ 1 ( m o d p ) a\cdot a^{p-2}≡1\ (mod\ p) a⋅ap−2≡1 (mod p)
所以可以直接使用快速幂求出 a p − 2 a^{p-2} ap−2即为 a a a在模 p p p意义下的逆元
② 扩展欧几里得：
先假设我们要求的 a a a在模 p p p意义下的逆元为 x x x
可以得到方程 a ⋅ x ≡ 1 ( m o d p ) a\cdot x≡1\ (mod\ p) a⋅x≡1 (mod p)
变成一般等式： a ⋅ x + p ⋅ y = 1 a\cdot x+p\cdot y=1 a⋅x+p⋅y=1
现在要求的就是 x x x
p p p是素数，所以 g c d ( a , p ) = 1 gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1，可以使用扩展欧几里得计算得到 x x x。
二、线性求逆元：
显然 1 − 1 = 1 1^{-1}=1 1−1=1
假设现在已经计算出 i i i之前的所有正整数的逆元
现在要求 i i i的逆元
先写出等式： i ⋅ k + r = p i\cdot k+r=p i⋅k+r=p
变成模 p p p下的恒等式： i ⋅ k + r ≡ 0 ( m o d p ) i\cdot k+r≡0\ (mod\ p) i⋅k+r≡0 (mod p)
两边同乘 i − 1 ⋅ r − 1 i^{-1}\cdot r^{-1} i−1⋅r−1得到： k ⋅ j − 1 + i − 1 ≡ 0 ( m o d p ) k\cdot j^{-1}+i^{-1}≡0\ (mod\ p) k⋅j−1+i−1≡0 (mod p)
移相： i − 1 ≡ − k ⋅ j − 1 ( m o d p ) i^{-1}≡-k\cdot j^{-1}\ (mod\ p) i−1≡−k⋅j−1 (mod p)
k k k和 j j j可以分别用 p / i p/i p/i和 p % i p\%i p%i来代替： i − 1 ≡ − ( p / i ) ⋅ ( p % i ) − 1 ( m o d p ) i^{-1}≡-(p/i)\cdot (p\%i)^{-1}\ (mod\ p) i−1≡−(p/i)⋅(p%i)−1 (mod p)
取 正 数 ： i − 1 = ( p − p / i ) ⋅ ( p % i ) − 1 % p 取正数：i^{-1}=(p-p/i)\cdot (p\%i)^{-1}\%p 取正数：i−1=(p−p/i)⋅(p%i)−1%p
p % i < i p\%ip%i<i 所以 p % i p\%i p%i的逆元已经算出来了，右端项没有未知数。所以就可以 O ( n ) O(n) O(n)的时间内算出 1 − n 1-n 1−n之内所有数的逆元了
inv[1] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;