凸优化第三章凸函数 3.2保凸运算

3.2保凸运算

1. 非负加权求和
2. 复合仿射映射
3. 逐点最大和逐点上确界
4. 复合
5. 最小化函数
6. 透视函数

非负加权求和

凸函数的非负加权求和得到的函数仍为凸函数

如果均为凸函数，，仍为凸函数。

证明：

因为是凸函数，故

得证

例子：

复合仿射映射

f(Ax+b),如果f是凸函数，f(Ax+b)也是凸函数，如果f是凹函数，f(Ax+b)也是凹函数。

逐点最大和逐点上确界

逐点最大

如果均为凸函数，仍为凸函数。

证明：

因为是凸函数，故

得证。

例子

最大r个分量之和：,表示x中第i大的分类，函数f(x)的结果是x的最大r个分量之和。

f(x)是凸函数。

可以这样理解f(x)

表示x的任意r个不同分量，f(x)即表示从x中任意五r个不同的分量求和的所有可能组合的最大值，也是一种逐点最大。所有也是凸函数。

逐点上确界

逐点最大的性质扩展到无限个凸函数的逐点上确界。

如果对于任意的,f(x,y）关于x都是凸的，则函数g

关于x也是凸的。

关于g(x)我的理解就是在每一个x上取可以使f(x,y)最大的y,得到的f(x,y)，组成一个函数g。

上确界函数的上境图是这些函数的上境图的交集。

复合

标量复合

当g和h都二次可微，且的时候，f(x)的二阶导数为：

可知

1. 如果h是凸函数且非减，g是凸函数，则f是凸函数。
2. 如果h是凸函数且非增，g是凹函数，则f是凸函数。
3. 如果h是凹函数且非减，g是凹函数，则f是凹函数。
4. 如果h是凹函数且非增，g是凸函数，则f是凹函数。

在不假设g和h均二次可微，定义域也不满足时，可以先对h进行扩展值延伸，如果h是凸函数，则对不在dom(h)的点赋值为正无穷大，如果是h是凹函数，则对不在dom(h)的点赋值为负无穷，扩展值延伸后的函数记为。于是上述结论改为：

1. 如果h是凸函数且非减，g是凸函数，则f是凸函数。
2. 如果h是凸函数且非增，g是凹函数，则f是凸函数。
3. 如果h是凹函数且非减，g是凹函数，则f是凹函数。
4. 如果h是凹函数且非增，g是凸函数，则f是凹函数。

矢量复合

类比标量复合，当g和h均二次可微，且时，f(x)的二阶导：

可知：

1. 如果h是凸函数且在每一维上h非减，是凸函数，则f是凸函数。
2. 如果h是凸函数且在每一维上h非增，是凹函数，则f是凸函数。
3. 如果h是凹函数且在每一维上h非减，是凹函数，则f是凹函数。
4. 如果h是凹函数且在每一维上h非增，是凸函数，则f是凹函数。

同样在不假设h和g的二次可微性和定义域时，对h进行扩展值延伸，然后进行如下判断：

1. 如果h是凸函数且在每一维上非减，是凸函数，则f是凸函数。
2. 如果h是凸函数且在每一维上非增，是凹函数，则f是凸函数。
3. 如果h是凹函数且在每一维上非减，是凹函数，则f是凹函数。
4. 如果h是凹函数且在每一维上非增，是凸函数，则f是凹函数。

书上写着不仅需要h满足增减性要求，也要满足，这里只写了满足是因为满足增减性意味着h也同样满足。

最小化

如果是凸函数，且C是凸集，则

也是凸函数。inf表示下确界，利用上境图来解释：

其实就是将f的上境图投影到x,t上得到g的上境图。而凸集在其某些分量上的投影仍为凸集，故epi(g)是凸集，故g是凸函数。

对g(x）的理解就是在f(x,y)函数上，找到可以是函数f(x,y)最小的y，然后将y带入f(x,y)得到了f关于x的函数。

例子：

其中A和C为对称矩阵。

令其为0，得到

为C的伪逆。带入f(x,y)得到：

因为C是对称阵，故上式

根据伪逆性质：

于是f(x,y)等于

g(x)也可以表示成：

透视函数

给定函数，则f的透视函数定义为：

透视运算是保凸运算，如果函数f是凸函数，则g也是凸函数，如果f是凹函数，则g也是凹函数。

例子：

是凸函数，则​​​​​也是凸函数，当t大于0时。

是凸函数，则也是凸函数，当t大于0时。

如果f是凸函数，则也是凸函数。