凸优化第四章凸优化问题 4.6广义不等式约束

4.6广义不等式约束

1. 锥形式问题
2. 半定规划
3. 例子

广义不等式约束

将不等式约束函数扩展为向量，并使用广义不等式，得到：

其中，为正常锥，为凸的。则称此问题为广义不等式意义下的凸优化问题。

结论：

1. 可行集、任意下水平集和最优集都是凸的。
2. 上述问题的任意局部最优解都是全局最优解。
3. 可微函数的最优性条件都成立。

锥形式问题

锥形式问题也称锥规划，有线性目标函数和一个不等式约束函数（仿射函数）：

标准形式的锥形式问题：

不等式形式的锥形式问题：

半定规划

当K为，即半正定矩阵锥时，相应的锥形式问题为半定规划（SDP）：

其中，且不等式是线性矩阵不等式（LMI）。

如果都是对角阵，那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式，SDP退化为线性规划。

标准形式的半定规划

标准形式的SDP具有对变量的线性等式约束和非负约束：

其中。

不等式形式的半定规划

其优化变量。

多个LMI：

多个LMI和一个LMI是等价的，例如

其约束函数可以写成：

新的约束的矩阵仍然属于

LP 、SOCP、SDP

首先解释为什么当都是对角阵时，那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式，SDP退化为线性规划

当都是对角阵时，取k=2，n=2，此时约束函数：

显然SDP退化为线性规划。

SOCP和等价的SDP

SOCP：

想要得到其等价的SDP，关键在于对其约束函数的转变，即由SOCP的约束函数得到一个矩阵半定约束。

显然矩阵正定有两个约束：（1）（2）由这两个约束可推出SOCP的约束。

例子

最小化矩阵最大的特征值

相当于找到一个最小的t，使得，即

等价于SDP：

矩阵范数极小化

即找到一个最小t，使得

所以其对应的SDP问题为：