CQF笔记M1L5仿真和操作随机微分方程

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 5 Simulating and Manipulating Stochastic Differential Equations

操作随机微分方程

$dG=a(G,t)dt+b(G,t)dX$
称为$G$的随机微分方程或者$dG$的随机游走，由两部分组成：

1. $a(G,t)dt$是确定性部分，$dt$的系数称为drift或者growth
2. $b(G,t)dX$是随机部分, $dX$的系数称为diffusion或者volatility

资产价格和几何布朗运动

$$dS=\mu Sdt+\sigma dX\text{\hspace{1em}(1)}$$

• drift $a(S,t)=\mu S$
• diffusion $b(S,t)=\sigma S$

这个随机过程叫几何布朗运动Geometric Brownian Motion(GMB)或指数布朗运动Exponential Brownian Motion(EMB)，广泛用于资产定价

期权价格

$$df=f(X+dX)-f(x)=\frac{df}{dX}dX+\frac{1}{2}\frac{d^{2}f}{d{X}^2}dt\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中用到$li{m}_{dt\to 0}d{X}^2=dt$

重写公式$(1)$为 $$\begin{array}{r}\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dX\end{array}$$

• $dS$反映很短时间间隔$dt$内的价格变化, $\begin{array}{r}\frac{dS}{S}\end{array}$表示资产收益率
• $\mu$ 是资产收益率的平均值
• $\sigma$ 反映资产收益率的波动性（标准差））
• $dX$ 是布朗运动的增量，建模为维纳过程，服从正态分布$dX\sim N(0,dt)$

期权价格是随机过程的函数$V(S)$, 进行泰勒展开得到 $$\begin{array}{r}dV=\frac{dV}{dS}dS+\frac{1}{2}\frac{d^{2}V}{d{S}^2}d{S}^2\end{array}$$

忽略$d{t}^{\frac{3}{2}},d{t}^2$等高阶无穷小, 得到$d{S}^2={\sigma }^2{S}^{2}dt$，带入得到
$$\begin{array}{r}dV=(\mu S\frac{dV}{dS}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{d^{2}V}{d{S}^2})dt+(\sigma S\frac{dV}{dS})dX\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
这是一个新的随机微分方程，同样包括确定性部分和随机部分

实例1：对数
由于几何布朗运动的右侧有S，无法直接通过积分求解，定义中间函数$V(S)=logS$，有

$$\begin{array}{rl}& \frac{dV}{dS}=\frac{1}{S}\\ & \frac{d^{2}V}{d{S}^2}=-\frac{1}{S^2}\end{array}$$

由公式$(3)$得到
$d(logS)=(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)dt+\sigma dX$
两边积分，得到
$\begin{array}{rl}{\int }_0^{t}d(logS)& ={\int }_0^t(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)d\tau +{\int }_0^t\sigma dX\\ & =(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma (X(t)-X(0))\end{array}$
假设$X(0)=0,S(0)=S_0$,
$\begin{array}{rlr}S(t)& =S_0{e}^{(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma X(t)}& =S_0{e}^{(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma \varphi \sqrt{t}}\end{array}$

实例2：均值复归

考察 $dr=\gamma (\bar{r}-r)dt+\sigma dX$

• $\gamma$ 是回复速度
• $\bar{r}$ 是均值（长期均值）

这个微分方程同样无法直接通过积分求解$r$，令$u=r-\bar{r}$, 两边同时乘以$e^{\gamma t}$, 使用乘法法则，得到$$d(u{e}^{\gamma t})=\sigma e^{\gamma t}dX$$, 两边积分得到
$$\begin{array}{rl}u(t)& =u(0)e^{-\gamma t}+\sigma {\int }_0^t{e}^{\gamma (s-t)}d{X}_s\\ & =u(0)e^{-\gamma t}+\sigma (X(t)-\gamma {\int }_0^{t}X(s)e^{\gamma (s-t)}ds)\end{array}$$

转移概率密度函数

$$dy=A(y,t)dt+B(y,t)dX$$

注意概率密度函数$p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })$的定义
$$\begin{array}{r}Prob(a<y^{\prime }<battime{t}^{\prime }|yattimet)={\int }_a^{b}p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })d{y}^{\prime }\end{array}$$

前向方程

已知：当前时刻$t$的值为$y$
求解：未来时刻$t^{\prime }$的值为$y^{\prime }$的概率(分布)

通过三叉树思想可以得到前向方程和反向方程, 参考泰勒级数和转移概率密度函数

$$\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial {y^{\prime }}^2}(B(y^{\prime },t^{\prime }{)}^{2}p)-\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}(A(y^{\prime },t^{\prime })p)\end{array}$$

这个方程称为Fokker–Planck或者forward Kolmogorov方程

对数正态随机游走

$$dS=\mu Sdt+\sigma SdX$$

• $A(S,t)=\mu S$
• $B(S,t)=\sigma S$

前向方程变为
$$\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial {y^{\prime }}^2}({\sigma }^2{S^{\prime }}^{2}p)-\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}(\mu S^{\prime }p)\end{array}$$

求解得到
$$\begin{array}{r}p(S,t;S^{\prime },t^{\prime })=\frac{1}{\sigma S^{\prime }\sqrt{2\pi (t^{\prime }-t)}}{e}^{-(log(S/S^{\prime })+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)(t^{\prime }-t){)}^2/2{\sigma }^2(t^{\prime }-t)}\end{array}$$

对数随机游走的概率密度分布

下图是上图表达的是同一个意思

稳态分布

当$t^{\prime }\to \infty$时, $p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })$与初始时刻$t$的状态$y$无关。

• 利率、通胀和波动率的SDE模型呈现稳态分布
• 对数正态分布随机游走会变为无界或者退化为0（非稳态）

稳态分布$p_{\infty }(y^{\prime })$满足微分方程

$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}\frac{d^2}{{d{y}^{\prime }}^2}(B^2{p}_{\infty })-\frac{d}{d{y}^{\prime }}(A{p}_{\infty })=0\end{array}$$

Vasicek model

$$dr=\gamma (\bar{r}-r)dt+\sigma dX$$

带入稳态分布的微分方程
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{d^2{p}_{\infty }}{{d{y}^{\prime }}^2}-\gamma \frac{d}{d{r}^{\prime }}((\bar{r}-r^{\prime })p_{\infty })=0\end{array}$$

解方程得到
$$\begin{array}{r}{p}_{\infty }=\frac{1}{\sigma }\sqrt{\frac{\gamma }{\pi }}{e}^{-\frac{\gamma (\bar{r}-r^{\prime }{)}^2}{{\sigma }^2}}\end{array}$$

说明利率
$$r\sim N(\bar{r},\frac{{\sigma }^2}{2\gamma })$$

TODO: 疑问: Vasicek模型本身满足稳态分布，还是假设他满足稳态分布

反向方程

backward Kolmogorov equation

$$\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}B(y,t{)}^2\frac{{\partial }^p}{\partial y^2}+A(y,t)\frac{\partial p}{\partial y}=0\end{array}$$

仿真对数正态随机游走

$$dS=\mu Sdt+\sigma SdX$$

变换为离散时间
$$\begin{array}{r}{S}_{i+1}=S_i(1+\mu \delta t+\sigma \varphi {\delta }^{1/2})\end{array}$$

Euler method 用电子表格软件仿真这个模型

输入参数

• 初始值 $S_0$
• 时间步长 $\delta t$
• drift rate $\mu$
• 波动率 $\sigma$
• 步数

标准正态分布发生器 $\varphi$
在Excel中，

• 精确但是慢的方法：用函数NORMSINV(RAND())产生标准正态分布的随机数
• 不精确但是快的方法：($\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{12}\end{array}$ RAND()) - 6
  这里是用均匀分布之和呈现正态分布的特性，只取了12次均匀分布的和，所以不太精确

仿真其他随机游走

基本思路都是先离散化，再用正态分布随机数发生器产生数据

生成相关的随机数

生成不相关的随机数

1. 生成不相关的随机数${ϵ}_1$和${ϵ}_2$
2. 组合随机数
   ${\varphi }_1={ϵ}_1$
   ${\varphi }_2=\rho {ϵ}_1+\sqrt{1-{\rho }^2}{ϵ}_2$$
   ${\varphi }_1$和${\varphi }_2$的相关性为$\rho$

独立正态分布$Xi\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$的加权和满足正态分布
$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{\omega }_i{X}_i\sim N(\sum _{i=1}^n{\omega }_i{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{\omega }_i^2{\sigma }_i^2)\end{array}$$

以上几个结论都可以通过独立分布的相关性/协方差为0证明