CQF笔记M1L2二叉树模型

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 2 Binomial Model

二叉树模型是简化的期权定价模型，不需要复杂的随机分析

无风险组合

标的为股票的次日到期的看涨期权

假设条件
利率为0

符号

$V$：期权价格（二叉树模型的目标就是求出V）
$S$：今日股价
$K$：期权行权价
$p$：股价上涨概率
$S_u$：上涨价格
$S_d$：下跌价格
期权$Payoff=Max(S-K,0)$

用股票和期权构建资产无风险组合，无论价格下跌还是上涨，组合价值不发生变化

实例

$S=100,K=100,p=0.6,S_u=101,S_d=99$

组合中有一份期权，做空$N$份股票，则

• 当日组合的价值为$V-N\times S=V-100N$
• 次日价格上升，组合的价值为$Max(S_u-K,0)-N\times S_u=1-101N$
• 次日价格上升，组合的价值为$Max(S_d-K,0)-N\times S_d=-99N$

由于利率为0，三个式子应该相等，
由$1-101N=-99N$可得N=0.5，
由$V-100N=-99N$可得V=0.5

由于使用股票对期权对冲，股价上涨概率$p$对期权价格没有影响，但是股价的波动率对期权价值有很大的影响，也就是只关心资产价格的变化幅度，不关心变化方向

为什么（二叉树模型的）理论价格是市场价格

如果不是，会产生无风险套利机会（也是理论上的），相应的买卖行为会导致市场价格回归到理论价格
股价上涨概率$p=0.6$的影响（期权Payoff的期望值为0.6）：
期权的买方：
1. 大于0.6，不会有人买入
2. 0.5和0.6之间，投机者会买入，因为有正的期望收益
3. 小于0.5，不管是投机者还是对冲者都会买入
期权的卖方：
1. 大于0.5，确定会卖出
2. 小于0.5，不会卖出

对冲系数$\Delta$

$\Delta$表示用多少份股票和一份期权可以组成无风险资产

$\begin{array}{r}\Delta =\frac{Payoff(S_u,K)-Payoff(S_d,K)}{S_u-S_d}\end{array}$

利率

$(V-\Delta S)=(Payoff(S_d,K)-\Delta S_d)e^{-rt}$

风险中性世界risk-neutral worlds

完全市场

完全市场中期权是多余的
期权、股票、现金三者中，任意两个可以复制出第三个

真实世界的特性：

• delta对冲和消除风险
• 风险厌恶
• 不通过期望值对期权定价

风险中性世界的特性：

• 不关心风险（承担风险不会得到额外的回报）
• 不需要评估事件发生的概率
• 用期望值对所有事物定价

风险中性概率

风险中性概率是一个假想概率，使得
$S=[p^{\prime }{S}_u+(1-p^{\prime })S_d]e^{-rt}$
$V=[p^{\prime }Payoff(S_u,K)+(1-p^{\prime })Payoff(S_d,K)]e^{-rt}$

二叉树模型求解

符号
$S_u=uS,S_d=dS,0<d<1<u$
$u$是上涨因子
$d$是下跌因子
$p$是上涨概率

目标是通过$\mu ,\sigma$表示$u,d,p$

均值等式

• 由离散时间的资产价格模型（对数正态分布）$S_{i+1}-S_i=\mu S_i\delta t+\sigma S_i\varphi \sqrt{\delta t}$得到，每期价格均值变化为$\mu S\delta t$
• 由二叉树模型，每期的价格均值变化为$puS+(1-p)dS-S$
• 由此得到第一个等式$\mu S\delta t=puS+(1-p)dS-S$

方差等式

• 由资产价格模型得到方差为${\sigma }^2{S}^2\delta t$
• 由二叉树模型得到方差为$p(puS-mean{)}^2+(1-p)((1-p)dS-mean{)}^2$
• 由此得到第二个等式

两个方程三个未知数，有无穷多个解，选择如下近似解：

$u=1+\sigma \sqrt{\delta t}$
$d=1-\sigma \sqrt{\delta t}$
$\begin{array}{r}p=0.5+\frac{\mu \sqrt{\delta t}}{2\sigma }\end{array}$

资产组合

$t$时刻资产组合
$\begin{array}{r}\Pi =V-\Delta S\end{array}$

$t+\delta t$时刻，组合的价值为
$\begin{array}{r}{V}^{+}-\Delta uS\\ V^{-}-\Delta dS\end{array}$

由
$\begin{array}{r}{V}^{+}-\Delta uS=V^{-}-\Delta dS\end{array}$
得到
$\begin{array}{r}\Delta =\frac{V^{+}-V^{-}}{(u-d)S}\end{array}$

由
$\begin{array}{r}V-\Delta S=\frac{1}{1+r\delta t}(V^{+}-\Delta uS)\end{array}$
得到
$\begin{array}{rl}V& =\frac{V^{+}-V^{-}}{u-d}+\frac{1}{1+r\delta t}\frac{u{V}^{-}-d{V}^{+}}{u-d}\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}\frac{1}{u-d}((1+r\delta t)(V^{+}-V^{-})+u{V}^{-}-d{V}^{+})\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}\frac{1}{2\sigma \sqrt{\delta t}}[(1+r\delta t)(V^{+}-V^{-})\\ & +(1+\sigma \sqrt{\delta t})V^{-}-(1-\sigma \sqrt{\delta t})V^{+})]\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}[(0.5+\frac{r\sqrt{\delta t}}{2\sigma })V^{+}+(0.5-\frac{r\sqrt{\delta t}}{2\sigma })V^{-}]\end{array}$

令
$\begin{array}{r}{p}^{\prime }=0.5+\frac{r\sqrt{\delta t}}{2\sigma }\end{array}$
得到
$\begin{array}{r}V=\frac{1}{1+r\delta t}(p^{\prime }{V}^{+}+(1-p^{\prime })V^{-})\end{array}$

两个概率形式一样，$p$用实际收益率$\mu$，$p^{\prime }$用无风险利率$r$
$\begin{array}{r}p=0.5+\frac{\mu \sqrt{\delta t}}{2\sigma }\end{array}$
$\begin{array}{r}{p}^{\prime }=0.5+\frac{r\sqrt{\delta t}}{2\sigma }\end{array}$

$p^{\prime }$称为风险中性概率

无风险利率$r$的两个作用：

• 折现
• 收益率

风险中性概率和风险中性世界可以理解为一种简化建模的方法：通过调整概率，将风险厌恶程度调整为0，将收益率调整为无风险收益率r

多期二叉树

股价二叉树：从第一期开始，往后计算，每期使用相同的参数$u,d,p$
期权价格二叉树：计算最后一期$Payoff$，倒数第二期的价格使用最后一期$Payoff$的期望

Black-Scholes Equation

连续时间 $\delta t\to 0$

上涨因子 $u=1+\sigma \sqrt{\delta t}$
下跌因子 $v=1-\sigma \sqrt{\delta t}$

$\begin{array}{rl}{V}^{+}& =V(uS,t+\delta t)=V((1+\sigma \sqrt{\delta t})S,t+\delta t)\\ & \approx V(S,t)+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t+\frac{\partial V}{\partial S}\sigma \sqrt{\delta t}S+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}{\sigma }^2\delta t{S}^2+o(\delta t)\end{array}$

$\begin{array}{rl}{V}^{-}& =V(vS,t+\delta t)=V((1-\sigma \sqrt{\delta t})S,t+\delta t)\\ & \approx V(S,t)+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t-\frac{\partial V}{\partial S}\sigma \sqrt{\delta t}S+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}{\sigma }^2\delta t{S}^2+o(\delta t)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\Delta & =\frac{V^{+}-V^{-}}{(u-v)S}\\ & =\frac{V((1+\sigma \sqrt{\delta t})S,t+\delta t)-V((1-\sigma \sqrt{\delta t})S,t+\delta t)}{2\sigma \sqrt{\delta t}}\\ & \approx \frac{\partial V}{\partial S}\end{array}$

期权价格
$\begin{array}{rl}V& =\frac{V^{+}-V^{-}}{(u-d)}+\frac{1}{1+r\delta t}\frac{u{V}^{-}-d{V}^{+}}{u-d}\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}\frac{1}{u-d}[(1+r\delta t)(V^{+}-V^{-})+u{V}^{-}-d{V}^{+})]\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}\frac{1}{2\sigma \sqrt{\delta t}}[(1+r\delta t)(V^{+}-V^{-})\\ & +(1+\sigma \sqrt{\delta t})V^{-}-(1-\sigma \sqrt{\delta t})V^{+})]\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}\frac{1}{2\sigma \sqrt{\delta t}}[r\delta t(V^{+}-V^{-})+\sigma \sqrt{\delta t}(V^{+}+V^{-})]\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}\frac{1}{2\sigma \sqrt{\delta t}}[r\delta t\times 2\frac{\partial V}{\partial S}\sigma \sqrt{\delta t}S\\ & +\sigma \sqrt{\delta t}\times 2(V+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}{\sigma }^2\delta t{S}^2)]\\ & =\frac{1}{1+r\delta t}[r\delta t\frac{\partial V}{\partial S}S+V+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}{\sigma }^2\delta t{S}^2]\end{array}$

移项可得到 Black-Scholes equation
$\begin{array}{r}\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0\end{array}$