CQF笔记M1L1资产的随机行为

简介

CQF课程简介

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 1 The Random Behaviour of Assets

三种分析方法

• 基本面分析：从财务报表/管理团队等角度分析公司（股票）价值。存在的问题：
  • 难以分析：大量问题没有体现在报表中
  • The market can stay irrational longer than you can stay solvent(Keynes).市场会长期不理性：持有低估值的公司导致持续亏损
• 技术分析：只关心从历史股价以及从中中提取的信息，大量研究表明这种方法是无用功
• 量化分析：用随机性对股价/利率建模

备注：CQF关注量化金融，上面这段比较可能有失偏颇。关注点在于：量化分析基于对随机性建模。

收益率

SPX指数1950年至今的日回报分布近似为正态分布（这里可以理解为实证研究）

假设收益率为正态分布，则有
$\begin{array}{rl}& R_i=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=mean+standarddeviation\times \varphi \\ & 其中\varphi 是标准正态分布,\\ & 均值mean和标准差standarddeviation都是常数\end{array}$

离散时间下的收益率

1. 单期时间用$\delta t$表示，单位为年，
   计算SPX收益率时，单期时间$\delta t$为一天，所以$\begin{array}{r}\delta t=\frac{1}{252}\end{array}$

2. 用$\mu$表示年化收益率(growth rate/drift rate), 则单期收益率的均值$mean=\mu \delta t$
   忽略收益率等式中的随机项
   $\begin{array}{r}{R}_i=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \delta t\end{array}$
   $\begin{array}{r}{S}_{i+1}=S_i(1+\mu \delta t)\end{array}$
   $\begin{array}{rl}{S}_M& =S_{M-1}(1+\mu \delta t)\\ & =S_{M-2}(1+\mu \delta t{)}^2\\ & =\cdots \\ & =S_0(1+\mu \delta t{)}^M\\ & =S_0{e}^{Mlog(1+\mu \delta t)}\\ & \approx S_0{e}^{M\mu \delta t},当\delta t\to 0时\\ & =S_0{e}^{\mu t}\end{array}$
   上述推导说明，当$M\to \infty ,\delta t\to 0$ 时，，收益率与步长$\delta t$无关

3. 用$\sigma$表示收益率的年化波动率，则单期收益率的波动率为$standarddeviation=\sigma \sqrt{\delta t}$
   备注：这里隐含了一个假设：单期收益率相互独立，多期收益率满足平方根法则
   如果$X,Y$相互独立, 则$\begin{array}{r}COV(X,Y)=0\end{array}$
   $\begin{array}{rl}& V(X+Y)\\ =& V(X)+V(Y)+2COV(X,Y)\\ =& V(X)+V(Y)\end{array}$

4. 收益率等式
   $\begin{array}{rl}{R}_i& =\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}\\ & =mean+standarddeviation\times \varphi \\ & =\mu \delta t+\sigma \varphi \sqrt{\delta t}\end{array}$
   $\begin{array}{r}{S}_{i+1}-S_i=\mu S_i\delta t+\sigma S_i\varphi \sqrt{\delta t}\end{array}$
   这个等式是蒙特卡洛模拟的基石，是随机游走的离散时间模型

连续时间下的收益率

$\begin{array}{r}{S}_{i+1}-S_i=\mu S_i\delta t+\sigma S_i\varphi \sqrt{\delta t}\end{array}$

在连续时间条件下

1. 等式右边的第一项$\mu S_i\delta t$中, $\delta t$变为$dt$

2. 等式右边的第二项$\sigma S_i\varphi \sqrt{\delta t}$中, 因为随机变量$\varphi$的存在, $\sqrt{\delta t}$不能直接变为$\sqrt{dt}$
   将$\varphi \sqrt{\delta t}$记为$dX$, 有$E[dX]=0,E[d{X}^2]=dt$, $dX$称为维纳过程 Wiener Process

3. 资产价格的连续时间模型$dS=\mu Sdt+\sigma SdX$
   这是一个随机微分方程Stochastic Differential Equation (SDE)