CQF笔记M1L4随机分析和伊藤引理

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 4 Stochastic Calculus and Itˆo’s Lemma

由于金融市场潜在的随机本质（假设），随机分析在金融过程的数据建模中非常重要。

抛硬币实验

规则：抛出正面赢1元，抛出反面输1元，概率都是$\frac{1}{2}$，任意抛硬币的行为相互独立

$\begin{array}{r}{R}_i=\{\begin{array}{l}1,ifH\\ -1,ifT\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& E(R_i)=1\times \frac{1}{2}+(-1)\times \frac{1}{2}=0\\ & V(R_i)=1^2\times \frac{1}{2}+(-1{)}^2\times \frac{1}{2}=1\\ & E(R_i{R}_j|i\ne j)=0\end{array}$

考察抛$i$次硬币之后的现金总和
$\begin{array}{r}{S}_i=\sum _{j=1}^i{R}_j,S_0=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& E(S_i)=0\\ & V(S_i)=E(S_i^2)=\sum _{m=1}^i\sum _{n=1}^{i}E(R_m{R}_n)=\sum _{n=1}^{i}E(R_n^2)=i\end{array}$

条件期望$\begin{array}{rl}& E(S_6|R_1,\cdots ,R_5)=S_5\end{array}$
备注：第五次抛出硬币后，第六次自身的期望为0，因此条件期望等于第五次的现金数量

马可夫属性 Markov property

随机变量$S_i$的所有过去时间的条件分布，只依赖于上一时刻的值$S_{i-1}$

• Markov property表示随机游走没有记忆
• 不要求随机变量$S_i$的期望值与上一时刻$S_{i-1}$的期望相同
• 更一般化一些，对于$1\le j<j$, 只有含有信息的最大的$j$对应的$S_j$，对估计$S_i$是有用的（有信息的）

鞅属性 martingale property

鞅属性的定义$\begin{array}{rl}& E(S_i|S_j,j<i)=S_j\end{array}$

站在$j$时刻看未来的$i$时刻，$i$时刻的条件期望

二次变分 Quadratic variation

二次变分的定义$\begin{array}{rl}& Q=\sum _{j=1}^i(S_j-S_{j-1}{)}^2\end{array}$

由于抛硬币的$(S_j-S_{j-1}{)}^2=1$, 所以$Q=i$

布朗运动 Brownian motion

修改抛硬币实验的规则：

• 抛6次，总时长为$t$, 则单次实验的时长为$t/6$
• 赌注从$1$改为$\sqrt{t/6}$

二次变分 $\begin{array}{rl}& Q=\sum _{j=1}^6(S_j-S_{j-1}{)}^2=6(\sqrt{\frac{t}{6}}{)}^2=t\end{array}$

假设抛$n$次，总时长仍然是$t$, 赌注改为$\sqrt{t/n}$, 二次变分 $Q$仍然等于$t$

当逐渐增加$n$, 步长以$n^{-1}$的速度下降, 而赌注以$n^{-1/2}$的速度下降

当$n=\infty$时
$\begin{array}{rl}& E[S(t)]=E[\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n{R}_i]=0\\ & V[S(t)]=E[S(t{)}^2]=t\end{array}$

$\begin{array}{r}E[S(t{)}^2]=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}E(R_i{R}_j)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}E(R_i^2)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\times \frac{t}{n}=t\end{array}$

这种随机游走称为布朗运动，记为$X(t)$, 布朗运动有如下性质：

• $X(0)=x_0=0$
• Finiteness: 赌注随时间的平方根增长
• Continuity: 路径连续
• Markov: 在给定的$\tau$时刻，$\tau <t$, $X(t)$的条件分布仅依赖$X(\tau )$
• Martingale: 在给定的$\tau$时刻, $\tau <t$, $X(t)$的条件期望是$X(\tau )$
• Normality: 在有限时间$t_{i-1}$到$t_i$, $X(t_i)-X(t_{i-1})\sim N(0,t_i-t_{i-1})$, $dX\sim N(0,dt)$

将$X_t$看做随机游走的最终结果
$X_t\sim N(0,t)$, 即$X_t=\varphi \sqrt{t},\varphi N(0,1)$

$X$的增量
$dX\sim N(0,dt)$, 即$dX=\varphi \sqrt{dt}$

随机变量的函数

$F(X)=X^2$

随机变量的微分

随机世界的两个变量：时间$t$和布朗运动$X$

$dX$是$\sqrt{dt}$的同阶无穷小，因此远大于$dt$。

考虑梯度、斜率、微分、敏感性时，要非常小心，因为这些会使$dt$趋向于0

因此在随机世界中，使用随机微分方程:$dF=\cdots dt+\cdots dX$

普通的微积分法则不适用于随机世界
假设$F(X)=X^2$, 则$dF\ne 2XdX$

泰勒级数和伊藤引理

简单泰勒展开，忽略高阶项
$\begin{array}{r}F(X+dX)=F(X)+\frac{dF}{dX}dX+\frac{1}{2}\frac{d^{2}F}{d{X}^2}d{X}^2\end{array}$

移项，得到
$\begin{array}{r}dF=\frac{dF}{dX}dX+\frac{1}{2}\frac{d^{2}F}{d{X}^2}d{X}^2\end{array}$

$d{X}^2$在时间步长逐渐变小为$dt$时，等于其均值$dt$, 也就是说没有随机性。
这里似乎能说得通，但是没有严格证明，按照同样的逻辑$dX$应该等于$\sqrt{dt}$

RULE OF THUMB一般指拇指规则。拇指规则(RULE OF THUMB) ，中文又译为“大拇指规则 ”，又叫”经验法则“，是一种可用于许多情况的简单的，经验性的，探索性的但不是很准确的原则。

这里得到$d{X}^2=dt$是Rule of thumb
似乎这就是伊藤引理的结论

对于$F=X^2$, 带入泰勒级数
$\begin{array}{rl}& \frac{dF}{dX}=2X\\ & \frac{d^{2}F}{d{X}^2}=2\\ & dF=dt+2XdX\end{array}$
这是随机微分方程的一个例子

随机微分方程

随机微分方程用于建模随机量，例如股价。
这种随机量，例如股价，可以分解为确定性（可预测）和随机性两部分。

确定性部分用$dt$建模，随机性部分用$dX$建模: $dS=f(S,t)dt+g(S,t)dX$
其中$f(S,t)$称为growth rate或者drift, $g(S,t)$与S的波动率有关。

带漂移的简单布朗运动

$dS=\mu dt+\sigma dX$

这种形式的S可能为负值

带随机漂移的简单布朗运动

$dS=\mu Sdt+\sigma SdX$

如果$S$的初值为正数，则$S$永远不可能变为负数，因为$S$越接近$0$时，$dS$的漂移项越接近0

假设$\sigma =0$, 变成普通的微分方程，求解得到$S_t=S_0{e}^{\mu t}$

均值复归的随机游走

$dS=(\nu -\mu S)dt+\sigma dX$

当$S$变大到$dt$的系数为负时, $S$的均值会变小

用$r$替换$S$, 就是短期利率的 Vasicek model

短期利率的Cox, Ingersoll & Ross model

$dS=(\nu -\mu S)dt+\sigma S^{1/2}dX$

当S接近0时，随机性会变小
这个微分方程在后面很重要

系数都是$t$的函数

$dW=g(t)dt+f(t)dW$

这个SDE是下面随机积分的shorthand

$W(t)={\int }_0^{t}g(\tau )d\tau +{\int }_0^{t}f(\tau )dX(\tau )$

mean square limit

用在随机积分中

考察随机量
$\begin{array}{rl}& E[(\sum _{j=1}^n(X(t_j)-X(t_{j-1}){)}^2-t{)}^2]where{t}_j=jt/n\\ =& E[\sum _{j=1}^n(X(t_j)-X(t_{j-1}){)}^4+2\sum _{i=1}^n\sum _{j<i}^n(X(t_i)-X(t_{i-1}){)}^2(X(t_j)-X(t_{j-1}){)}^2-2t\sum _{j=1}^n(X(t_j)-X(t_{j-1}){)}^2+t^2]\\ =& n\frac{3t^2}{n^2}+n(n-1)\frac{t^2}{n^2}-2tn\frac{t}{n}+t^2\\ \sim & O(\frac{1}{n})\end{array}$

推导过程中有个隐含前提$X(t_j)-X(t_{j-1})\sim N(0,t/n)$, 其二阶矩（方差）为$t/n$, 四阶矩为$3t^2/n^2$

当$n\to \infty$时前面计算的随机量等于0

在mean square limit 均方极限语境下，认为${\sum }_{j=1}^n(X(t_j)-X(t_{j-1}{)}^2=t$, 记做: ${\int }_0^t(dX{)}^2=t$

后续的证明中，提到相等equality，都指的是均方极限语境