风险度量的三个目标
一致性(coherent)风险度量指标的特性:
市场风险
市场风险:市场价格变动导致损失的风险
VaR和ES都可以用于度量市场风险
VaR表示给定时间区间(用于监管资本目的的VaR,时间区间通常是10天)和给定置信度水平下,持有资产或资产组合的最大损失
VaR(1天, 99%) = $10m
表示每年(252个交易日)有2~3天的日损失大于$10m,也就是其他时间的损失小于$10m或者盈利
P r ( ϕ ≤ V a R ( X ) − μ σ ) = 1 − c Pr(\phi \le \frac{VaR(X)-\mu}{\sigma}) = 1 - c Pr(ϕ≤σVaR(X)−μ)=1−c
VaR不能回答资产组合在给定时间区间内会损失多少
VaR提供了一种概率表达:关于对资产组合的价值,在给定时间区间内,可能发生多大的变化
VaR和时间区间
市场风险的VaR的时间区间一般用1天
监管部门使用的时间区间是10天
假定日收益相互独立(这种假设实际上并不成立),使用平方根法则,可以在不同时间区间之间转换VaR
ES描述尾部损失的期望值,跟VaR一样,也是时间区间和置信区间的函数
ES也叫条件VaR、条件尾部期望值、尾部损失的期望值
E S c ( X ) = E [ X ∣ X ≥ V a R c ( X ) ] ES_c(X) = \mathbb{E}[X | X \ge VaR_c(X)] ESc(X)=E[X∣X≥VaRc(X)]
三种方法:
方差协方差分析方法(参数VaR)
Analytic variance covariance approach / delta normal / parametric VaR
这三个术语指的是同一个意思:假设组合价格(风险因子)符合对数正态分布(用均值和方差描述)
V a R ( X ) = μ + Φ − 1 ( 1 − c ) ∗ σ VaR(X) = \mu + \Phi^{-1}(1-c) * \sigma VaR(X)=μ+Φ−1(1−c)∗σ
Φ − 1 ( 1 − c ) \Phi^{-1}(1-c) Φ−1(1−c)表示置信度 c c c对应的分位点
历史模拟法
历史模拟法不需要事先假设分布,但是需要2~3年的数据。
历史模拟法的优点:
缺点:
蒙特卡洛模拟法
模拟随机过程生成多条路径(10000条),每条路径中资产组合都有一个价格,这些价格呈现某个分布。
单个资产的VaR
V a r ( 1 天 , 99 % ) = 2.21 % × 2.33 × 100 , 000 = 5 , 149 Var(1天, 99\%) = 2.21\% \times 2.33 \times 100,000 = 5,149 Var(1天,99%)=2.21%×2.33×100,000=5,149
V a r ( 10 天 , 99 % ) = 2.21 % × 10 × 2.33 × 100 , 000 = 16 , 284 Var(10天, 99\%) = 2.21\% \times \sqrt{10} \times 2.33 \times 100,000 = 16,284 Var(10天,99%)=2.21%×10×2.33×100,000=16,284
这里假设日汇报的相关系数为0
缺陷:
单个资产的ES
参数法假定资产价格符合对数正态分布,资产收益符合正态分布
E S = μ + σ e − Y 2 / 2 2 π ( 1 − X ) ES = \mu + \sigma \frac{e^{-Y^2/2}}{\sqrt{2 \pi} (1 - X) } ES=μ+σ2π(1−X)e−Y2/2
目的:
收益的期望值
μ ⃗ = ( μ 1 ⋮ μ i ⋮ μ n ) \vec{\mu} = \left( \begin{matrix} \mu _1 \\ \vdots \\ \mu _i \\ \vdots \\ \mu _n \\ \end{matrix} \right) μ=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛μ1⋮μi⋮μn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
资产权重 x ⃗ = ( x 1 ⋮ x i ⋮ x n ) \vec{x} = \left( \begin{matrix} x _1 \\ \vdots \\ x _i \\ \vdots \\ x _n \\ \end{matrix} \right) x=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1⋮xi⋮xn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
组合收益的期望值
μ ( x ⃗ ) = E [ R ⃗ ( x ⃗ ) ] = E [ x ⃗ T R ⃗ ] = x ⃗ T E [ R ⃗ ] = x ⃗ T μ ⃗ \mu(\vec{x}) = \mathbb{E}[\vec{R}(\vec{x})] = \mathbb{E}[\vec{x}^T \vec{R}] = \vec{x}^T \mathbb{E}[\vec{R}] = \vec{x}^T \vec{\mu} μ(x)=E[R(x)]=E[xTR]=xTE[R]=xTμ
组合收益的方差
σ 2 ( x ⃗ ) = E [ ( R ⃗ ( x ⃗ ) − μ ⃗ ) ( R ⃗ ( x ⃗ ) − μ ⃗ ( x ⃗ ) T ] = E [ ( x ⃗ T R ⃗ − x ⃗ T μ ⃗ ) ( x ⃗ T R ⃗ − x ⃗ T μ ⃗ ) T ] = E [ x ⃗ T ( R ⃗ − μ ⃗ ) ( R ⃗ − μ ⃗ ) T x ⃗ ] = x ⃗ T E [ ( R ⃗ − μ ⃗ ) ( R ⃗ − μ ⃗ ) T ] x ⃗ = x ⃗ T Σ x ⃗ \begin{aligned} \sigma^2(\vec{x}) &= \mathbb{E}[ (\vec{R}(\vec{x}) - \vec{\mu}) (\vec{R}(\vec{x}) - \vec{\mu}(\vec{x})^T] \\ &= \mathbb{E}[ (\vec{x}^T \vec{R} - \vec{x}^T \vec{\mu}) (\vec{x}^T \vec{R} - \vec{x}^T \vec{\mu})^T] \\ &= \mathbb{E}[ \vec{x}^T (\vec{R} - \vec{\mu}) (\vec{R} - \vec{\mu})^T \vec{x}] \\ &= \vec{x}^T \mathbb{E}[ (\vec{R} - \vec{\mu}) (\vec{R} - \vec{\mu})^T ] \vec{x} \\ &= \vec{x}^T \Sigma \vec{x} \\ \end{aligned} σ2(x)=E[(R(x)−μ)(R(x)−μ(x)T]=E[(xTR−xTμ)(xTR−xTμ)T]=E[xT(R−μ)(R−μ)Tx]=xTE[(R−μ)(R−μ)T]x=xTΣx
期望代表收益,方差代表风险,收益-风险问题变为求解优化问题(找到权重 x ⃗ \vec{x} x):
组合风险度量
损失 L ( x ⃗ ) = − R ( x ⃗ ) L(\vec{x}) = -R(\vec{x}) L(x)=−R(x)
损失的期望 E [ ( L ( x ⃗ ) ] = − μ ( x ⃗ ) \mathbb{E}[(L(\vec{x})] = - \mu(\vec{x}) E[(L(x)]=−μ(x)
损失的波动性 σ ( L ( x ⃗ ) ) = σ ( x ⃗ ) \sigma(L(\vec{x})) = \sigma(\vec{x}) σ(L(x))=σ(x)
基于标准差的风险度量
R ( x ⃗ ) = S D c ( x ⃗ ) = E [ ( L ( x ⃗ ) ] + c . σ ( L ( x ⃗ ) ) = − μ ( x ⃗ ) + c . σ ( x ⃗ ) \mathcal{R}(\vec{x}) = SD_c(\vec{x}) = \mathbb{E}[(L(\vec{x})] + c.\sigma(L(\vec{x})) = -\mu(\vec{x}) + c. \sigma(\vec{x}) R(x)=SDc(x)=E[(L(x)]+c.σ(L(x))=−μ(x)+c.σ(x)
VaR
R ( x ⃗ ) = V a R α ( x ⃗ ) = i n f { l : P r { L ( x ⃗ ) ≤ ( l ) } ≥ α } \mathcal{R}(\vec{x}) = VaR_{\alpha} (\vec{x}) = inf \{ \mathcal{l} : Pr\{L(\vec{x}) \le \mathcal(l) \} \ge \alpha \} R(x)=VaRα(x)=inf{l:Pr{L(x)≤(l)}≥α}
ES
R ( x ⃗ ) = E S α ( x ⃗ ) = 1 1 − α ∫ α 1 V a R u ( x ⃗ ) d u \mathcal{R}(\vec{x}) = ES_{\alpha} (\vec{x}) = \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} VaR_u (\vec{x}) du R(x)=ESα(x)=1−α1∫α1VaRu(x)du
ES的条件VaR表达形式
E S α ( x ⃗ ) = E [ L ( x ⃗ ) ∣ L ( x ⃗ ) ≥ V a R α ( x ⃗ ) ] ES_{\alpha}(\vec{x}) = \mathbb{E}[L(\vec{x}) | L(\vec{x}) \ge VaR_{\alpha} (\vec{x})] ESα(x)=E[L(x)∣L(x)≥VaRα(x)]
假设收益符合正态分布: R ∼ N ( μ , Σ ) R \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma) R∼N(μ,Σ),
代入 μ ( x ⃗ ) = x ⃗ T μ ⃗ \mu(\vec{x}) = \vec{x}^T \vec{\mu} μ(x)=xTμ和 σ 2 ( x ⃗ ) = x ⃗ T Σ x ⃗ \sigma^2(\vec{x})= \vec{x}^T \Sigma \vec{x} σ2(x)=xTΣx
S D c ( x ⃗ ) = − x ⃗ T μ ⃗ + c . x ⃗ T Σ x ⃗ SD_c(\vec{x}) = -\vec{x}^T \vec{\mu} + c.\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}} SDc(x)=−xTμ+c.xTΣx
对于VaR, P r { L ( x ⃗ ) ≤ V a R α ( x ⃗ ) } = α Pr\{ L(\vec{x}) \le VaR_{\alpha}(\vec{x}) \} = \alpha Pr{L(x)≤VaRα(x)}=α
由于 L ( x ⃗ ) = − R ( x ⃗ ) L(\vec{x}) = -R(\vec{x}) L(x)=−R(x),得到
P r { R ( x ⃗ ) − x ⃗ T μ ⃗ ) x ⃗ T Σ x ⃗ ≤ − V a R α ( x ⃗ ) − x ⃗ T μ ⃗ ) x ⃗ T Σ x ⃗ } Pr\{\frac{R(\vec{x}) - \vec{x}^T \vec{\mu})}{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}} \le \frac{-VaR_{\alpha}(\vec{x}) - \vec{x}^T \vec{\mu})}{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}} \} Pr{xTΣxR(x)−xTμ)≤xTΣx−VaRα(x)−xTμ)}
− V a R α ( x ⃗ ) − x ⃗ T μ ⃗ ) x ⃗ T Σ x ⃗ = Φ − 1 ( 1 − α ) \frac{-VaR_{\alpha}(\vec{x}) - \vec{x}^T \vec{\mu})}{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}} = \Phi^{-1}(1-\alpha) xTΣx−VaRα(x)−xTμ)=Φ−1(1−α)
最后得到
V a R α ( x ⃗ ) = − x ⃗ T μ ⃗ + Φ − 1 ( α ) x ⃗ T Σ x ⃗ VaR_{\alpha}(\vec{x}) = -\vec{x}^T \vec{\mu} + \Phi_{-1}(\alpha) \sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}} VaRα(x)=−xTμ+Φ−1(α)xTΣx
对VaR求积分得到
E S α ( x ⃗ ) = − x ⃗ T μ ⃗ + x ⃗ T Σ x ⃗ 1 − α ϕ ( Φ − 1 ( α ) ES_{\alpha}(\vec{x}) = -\vec{x}^T \vec{\mu} + \frac{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}}{1-\alpha} \phi(\Phi^{-1}(\alpha) ESα(x)=−xTμ+1−αxTΣxϕ(Φ−1(α)