素性测试

素性测试主要使用了两个定理

费马小定理 : 如果p是一个素数,且0 < a < p，则a ^ (p - 1) ≡ 1 (mod p)

很不幸这个定理不是充分的。所以我们再补充一个定理来加强它。

二次探测定理：如果p是一个素数，且0 < x < p，则方程x ^ 2 ≡ 1 (mod p)的解为x = 1, p - 1

这个定理其实很好理解

x ^ 2             ≡ 1 (mod p)
=    x ^ 2 - 1         ≡ 0 (mod p)
=    (x - 1)(x + 1)     ≡ 0 (mod p)

随机化（蒙特卡罗方法）

我们现在有了数学公式，但是问题并没有解决，因为p可能非常大，枚举所有的a或x都是不可能的。

于是我们开始猜，我们可以任取一个a并对a ^ (p - 1)测试，而且，我们计算a ^ (p - 1)应该使用的O(log p)的算法，这个算法中有平方的步骤，于是我们可以将二次探测放在这一步骤中，以节省（常数级）时间。

算法Prime返回false时，整数n一定是合数。而当算法Prime返回值为true时，整数n在高概率意义下是素数。任可能存在合数n，对于随机选取的基数a，算法返回true。但对于上述算法的深入分析表明，当n充分大时，这样的基数a不超过(n - 9) / 4个，由此可知，上述算法是一个偏假3 / 4正确的蒙特卡罗算法。

#include 
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using namespace std;

typedef unsigned long long ull;

// 函数返回值为二次探测结果，所计算的power次幂由result返回。 
bool power_and_square_test(ull &result, const ull a, const ull power, const ull mod) {
    if(power % 2 == 0) {
        if(power_and_square_test(result, a, power / 2, mod)) {
            return false;
        }
        result = result * result % mod;
        //二次探测 
        return result != 1;
    } else {
        if(power_and_square_test(result, a, power - 1, mod)) {
            return false;
        }
        result = result * a;
        return true;
    }
}

bool prime_test_step(ull a, ull n) {
    ull result;
    if(power_and_square_test(result, a, n - 1, n)) {
        //费马小定理 
        return result == 1;
    } else {
        return false;
    }
}

//反复测试提高正确概率 
bool prime_test(ull n, ull times) {
    srand(clock());
    for(ull i = 0; i < times; ++i) {
        ull a = rand() % n;
        if(prime_test_step(a, n) == false) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}