广义圆方树学习笔记 & luogu P4320 道路相遇

背景：

补一下坑吧。

题目传送门：

https://www.luogu.org/problem/P4320

题意：

一个图，每一次询问两个点的所有路径的交集的大小（对于一条路径，不能走过同样的点）。

思路：

我真的快想出正解了，但是不会实现。
容易发现最后产生贡献的点一定是割点。
一开始我的想法是用这个割点来代替点双里的所有的点，后来发现这样的做法极其难以实现，而且会被菊花图卡掉。
于是知道了一个叫做广义圆方树的东西。
其实仙人掌上的普通圆方树更加难以理解。

这是个什么东西呢？
它是这样子建树的：
找出所有的点双（$\text{Tarjan}$即可），新开一些点（我们称为“方点”）来连向每一个的点双里的点（我们称为“圆点”），然后断掉这个点双内圆点的连边。
具体实现的时候可以新开一个东西维护建边情况即可。
具体长这个样子 （又是这张图，盗的） ：
这个东西有什么性质呢？
你的点双里的东西可以维护在方点里；两个圆点之间必定是一个方点，两个方点之间必定是一个圆点；最后的图形一定是一棵树等等。

我们从图变成了树，那么很多树上的操作就可以上了。
总的来说这是一个极其优秀的东西。


对于这道题来说因为方点必定与点双对应，因此答案就为路径上圆点的数目。你可以树剖维护，但是还是太麻烦了。我们知道：两个圆点之间必定是一个方点，两个方点之间必定是一个圆点，因此答案就为$\lceil \frac{路径长度}{2}\rceil$（为什么向上取整，因为你查询答案必定查询圆点，方点是新建的，因此圆点一定比方点多$1$）路径长度可以由深度的差得到。

代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
	int n,m,q,op,lena=0,lenb=0;
	int lasta[2000010],lastb[2000010],sta[2000010],dfn[2000010],low[2000010],dep[2000010],fa[2000010][25];
	struct node{int x,y,next;} b[2000010],a[2000010];
void insa(int x,int y)
{
	a[++lena]=(node){x,y,lasta[x]}; lasta[x]=lena;
}
void insb(int x,int y)
{
	b[++lenb]=(node){x,y,lastb[x]}; lastb[x]=lenb;
}
int top=0,cnt=0;
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	sta[++top]=x;
	for(int i=lastb[x];i;i=b[i].next)
	{
		int y=b[i].y;
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>=dfn[x])
			{
				op++,insa(op,x),insa(x,op);
				int tmp;
				do
				{
					tmp=sta[top--];
					insa(op,tmp),insa(tmp,op);
				} while(tmp!=y);
			}
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
void dfs(int x)
{
	for(int i=lasta[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if(y==fa[x][0]) continue;
		fa[y][0]=x;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs(y);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(x==y) return x;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int main()
{
	int x,y;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d",&x,&y);
		insb(x,y),insb(y,x);
	}
	op=n;
	tarjan(1);
	dep[1]=1;
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=20;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d %d",&x,&y);
		printf("%d\n",(dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)])/2+1);
	}
}