数学建模——层次分析法AHP



层次分析法

层次分析法（AnalyticHierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

没有具体的数据可分析，而是对于抽象的问题进行比较分析哪一个解决方案更合理。

 

四个步骤进行：

（i）建立递阶层次结构模型；

（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；

（iii）层次单排序及一致性检验；

（iv）层次总排序及一致性检验。

 

分为三类：

（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。即A

（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。即B1、B2、B3、B4、……

（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。即C1、C2、C3、……

 

取两个因子Bi和Bj，以aij表示Bi和Bj对A的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n*n表示，称A为成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若Bi与Bj对A的影响之比为aij，则Bj与Bi对A的影响之比应为aij的倒数。

 

定义1  若矩阵A=(aij)n*n 满足

 （i）aij>0 ，（ii）aji=1/aij   (I,j=1,2,…,n)

则称之为正互反矩阵(易见aii=1,i=1,…,n)。 

关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。下表列出了1~9标度的含义： 

 

一般地作n(n-1)/2次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作n-1个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行n(n-1)/2次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。

 

对每个矩阵进行一致性检验

最大特征根、特征向量（即每一项的权重）

CI=最大特征根/(n-1)  n为矩阵维数

RI 查表

CR=CI/RI 如果小于0.1一致性检验ok合格

总的CR=总的CI/总的RI      如果小于0.1一致性检验ok合格

 

若一致性检验合格，则每个矩阵特征向量的元素即是对应的权重。

 

 

例子：假期旅游有3个旅游方案C1、C2、C3，请确定一个最佳旅游方案。

目标层：选择旅游方案

准则层：B1 景色、B2 费用、B3 居住、B4 饮食、B5 旅途、B6 人文

方案层：C1、C2、C3

 

确定判断矩阵，如图

第一个判断矩阵很好理解，就是Bi和Bj对因素A的影响大小之比。之后的判断矩阵，是Ci和Cj对因素Bk的影响大小之比。

         如果总的CR小于0.1，则一致性检验合格，得到A矩阵的特征向量，其元素即是3个方案的权重。