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HDU多校5 - 6822 Paperfolding(组合数学)

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题目大意：给出一张纸，每次对折可以向上，下，左，右四个方向对折，都是等概率的，现在问对折 n 次后，在中心画一个十字切开后能切成几份

题目分析：模拟一下可以看出水平对折和垂直对折相互独立，因为总的对折次数为 n ，所以设水平对折的次数为 x ，那么垂直对折的次数就是 y 次，且满足 x + y = n ，答案就是 ( 2^x + 1 ) * ( 2^y + 1 )

这样期望就是E(x)=\frac{\sum^{n}_{i=0}C^{i}_{n}(2^i+1)(2^{n-i}+1)}{2^n}，写这篇博客重点是记录一下化简的过程，需要用到的前置知识就是：

  1. C(n,m)表示组合数学n个数中选m个的方案数：C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n
  2. 二项式定理：(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}a^ib^{n-i}C^{i}_{n}

HDU多校5 - 6822 Paperfolding(组合数学)_第1张图片

代码：
 

#include
#include
#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ull;

const int inf=0x3f3f3f3f;

const int N=2e5+100;

const int mod=998244353;

LL q_pow(LL a,LL b)
{
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--)
	{
		LL n;
		scanf("%lld",&n);
		printf("%lld\n",(q_pow(2,n)+1+2*q_pow(3,n)*q_pow(q_pow(2,n),mod-2)%mod)%mod);
	}

















    return 0;
}

 

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