HDU 2516 取石子游戏 （斐波那契博弈 Fibonacci Nim）

思路：

斐波那契博弈的模板题。

证明：

证明转载自：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1) 先手不能在第一次把所有的石子取完；

2) 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

这个和之前的 Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点，就是游戏规则的动态化。之前的规则中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是这次有规则2：一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样，这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

先看看FIB数列的必败证明：

运用数学归纳法

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。

2、假设当i<=k时，结论成立。

则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。

（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）

对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。

所以我们得到，x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

即i=k+1时，结论依然成立。

对于不是FIB数，首先进行分解。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

我的一些想法：

假设想在这一堆里有21个，所以我按照fibonacci数列将之分为 8 + 13，在上面的证明和实际的操作中可以简单的看出当先手肯定要取8个以内，否则后手直接就取完了剩下的13个。
也就是说现在先手后手达成了一个默契：先取数量为8的那一堆。
对于8这堆来说， 1/3 这个界限是 3，即先手取3的话后手直接取完，所以先手一定也是取小于8/3（正常有小数点的除）的数字，对于先手取的1或2，我总能选择我可以取得某个数使得 8→5 ，为什么要变成是对手面对数目是5的这个状态呢？因为5是斐波那契数，这样的话就可以保证你（后手）取得这一堆的最后一个棋子。
对于13这堆，假如先手总是选1，后手要怎么构建呢？
其实这里13这堆又可以分为5+8，再分为2+3+3+5，

先手选择的数量	后手选择的数量	目前取的是哪一堆
1	1	2
1	2	第一个堆3
1	2	第二个堆3
1	1	5(让先手面对3这个状态，已经必胜）
1	2	5

精髓：根据先手取得的石子数，把初始个堆划分成需要的斐波那契数，保证先手取得的大于这堆的1/3，如此便可保证后手一定取得这堆的最后一个。
写的有点乱，大家将就着看吧（555555~）

AC代码：

#include 
#include 
#include 

typedef long long int lli;
using namespace std;

lli a[100];


int ini(){
    lli last = 1LL << 31;
    a[0] = 1;
    a[1] = 1;
    int i;
    for(i = 2; a[i] < last;i++){
        a[i] = a[i-2] + a[i-1];
    }
    return i;
}

int isfind(int n,int max_){
    for(int i = 1;i < max_;i++){
        if(a[i] == n){
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    int max_ = ini();
    int n;
    while(cin>>n,n){
        if(isfind(n,max_))
            printf("Second win\n");
        else
            printf("First win\n");
    }
    return 0;
}