矩阵快速幂详解

矩阵快速幂

在讲矩阵快速幂之前，先引入整数快速幂的概念。

整数快速幂

为了引出矩阵快速幂，以及说明快速幂算法的好处，我们可以先求整数的幂。如果现在要算X^8:

则X*X*X*X*X*X*X*X*X 按照寻常思路，一个一个往上边乘，则乘法运算进行7次。

用(X*X)*(X*X)*(X*X)*(X*X)这种求法，先进行乘法得X^2，然后对X^2再执行三次乘法，这样去计算则乘法运算执行4次。已经比七次少。所以为了快速算整数幂，就会考虑这种结合的思想。现在考虑应该怎么分让计算比较快。接下来计算整数快速幂。

例如：X^19

19的二进制为：1 0 0 1 1

由(X^m)*(X^n)=X^(m+n)

则X^19=(X^16)*(X^2)*(X^1)

那么怎么来求解快速幂呢。请看下列代码：

求解X^N的值

int QuickPow(int x,int N)
{
    int res = x;
    int ans = 1;
    while(N)
    {
        if(N&1)
        {
            ans = ans * res;
        }
        res = res*res;
        N = N>>1;
    }
    return ans;
}

矩阵快速幂

看了一个整数的快速幂，现在我们就正式介绍矩阵快速幂算法。假如现在有一个n*n的方阵A。所谓方阵就是行数和列数相等的矩阵，先给出一个数M，让算矩阵A的M次幂，A^M在此只要求计算并不需要去深究这个矩阵到底是什么含义。详细看下边的代码部分

代码部分

struct Matrix ///结构体，矩阵类型
{
    int m[maxn][maxn];
}ans,res;
Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int n)
{
    Matrix tmp;//定义一个临时的矩阵，存放A*B的结果
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            tmp.m[i][j] = 0;
        }
    }
    for(itn i=1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            for(int k = 1;k <= n;k++)
            {
                tmp.m[i][j] = a.m[i][k]*b.m[k][j];
            }
        }
    }
    return tmp;
}
///矩阵快速幂，求矩阵res的N次幂
void quickpower(int N,int n)
{
    //整数快速幂默认的ans是1，矩阵的话ans应为单位矩阵
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if(i == j)
                ans.m[i][j] = 1;
            else
                ans.m[i][j] = 0;
        }
    }
    while(N)
    {
        if(N&1)
            ans = Mul(res,res);
        res = Mul(res,res);
        N = N>>1;
    }
}