【DP】ICPC Pacific Northwest Regional Contest 2019 - F - Carny Magician

题目链接https://www.jisuanke.com/contest/8291?view=challenges

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题意

询问长度为 $n$ ，满足 $m$ 个下标与数值匹配的，字典序第k小的排序。

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题解

大概也就写了一万个 $dp$ 吧。
$c[i][j]$ 表示 $i$ 个位置挑出 $j$ 个的方案数，也就是组合数。
$fac[i]$ 表示 $i$ 的阶乘。
$f[i]$ 表示 $i$ 个位置的错排方案数。
$g[i][j]$ 表示 $i$ 个位置，$j$ 个数字不与任何下标匹配的错排方案数。
$dp[i][j][k]$ 表示 $i$ 个位置，$j$ 个位置应该匹配，$k$ 个数字不与任何下标匹配的方案数。

前面三个很容易算出，第四个我的转移比较复杂：
$i$ 个位置，$j$ 个数字不与任何下标匹配（我们称作通配符），也就是说另外有 $i-j$ 个数字存在对应下标匹配（称作非通配符）

• 首先枚举 $k$ ，表示从通配符中选出 $k$ 个放在非通配符的位置上：$c[j][k]$
• 非通配符中选出 $k$ 个位置放通配符：$c[i-j][k]$
• 再从这 $k$ 个非通配符数挑出 $l$ 个放在通配符位置上：$c[k][l]$
• 同样的也要从没被选中的非通配符中挑出 $k-l$ 个放在通配符位置上：$c[i-j-k][k-l]$。
• 现在在通配符位置上的 $j$ 个数全排列（原本就在通配符上的通配符，和换进来的非通配符一起全排列）：$fac[j]$
• 换出去的通配符也可以在挑出来的 $k$ 个位置上全排列：$fac[k]$
• 现在我们已经确立了 $j+k$ 个位置，还剩 $i-j-k$ 个。其中原本 $i-j$ 个非通配符有 $k-l$ 个被占了位置，它们也变成了新的通配符。所以转移到 $g[i-j-k][k-l]$。

有关 $g$ 的全部转移就在这了：

g[i][j]+=c[j][k]*c[i-j][k]*c[k][l]*c[i-j-k][k-l]*fac[j]*fac[k]*g[i-j-k][k-l];

然后是 $dp$ 的转移：
这个简单一些，从 $i-k$ 个非通配符中挑出 $j$ 个满足匹配，剩下就从 $g$ 转移：

dp[i][j][k]=c[i-k][j]*g[i-j][k];

有了这个 $dp$ 之后，只需要每一位一个个枚举，根据方案数来填数字即可。还有如果方案过大，直接设置成无穷就好。

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#include
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int N=3e5+7;
const ll inf=1e18+1e17;
ll c[60][60];
ll f[60];
ll fac[60];
ll dp[60][60][60];
ll g[60][60];
ll n,m,k;
bool vis[60];
int ans[60];
int main()
{
    for(int i=0;i<=50;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(i==j||j==0) c[i][j]=1;
            else c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
        }
    }
    f[0]=f[2]=1;
    for(int i=3;i<=50;i++){
        if(i<=20) f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-1);
        else f[i]=inf;
    }
    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<=50;i++){
        if(i<=21) fac[i]=fac[i-1]*i;
        else fac[i]=inf;
    }
    for(int i=0;i<=50;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(j==0){g[i][j]=f[i];continue;}
            for(int k=0;k<=j&&k<=i-j;k++){
                for(int l=max(0,-i+j+k+k);l<=k;l++){
                    ///挑k个出去，外面挑k个位置，外面位置对应的数中挑l个换进来，外面没被挑中的另外挑k-l个进来，进来的都可以全排列，外面位置全排列放通配符
                    if(inf/c[j][k]/c[i-j][k]/c[k][l]/c[i-j-k][k-l]/fac[j]/fac[k]<g[i-j-k][k-l]) g[i][j]=inf;
                    else if(g[i][j]+c[j][k]*c[i-j][k]*c[k][l]*c[i-j-k][k-l]*fac[j]*fac[k]*g[i-j-k][k-l]>inf) g[i][j]=inf;
                    else g[i][j]+=c[j][k]*c[i-j][k]*c[k][l]*c[i-j-k][k-l]*fac[j]*fac[k]*g[i-j-k][k-l];
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=50;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            for(int k=0;k<=i-j;k++){
                if(inf/c[i-k][j]<g[i-j][k]) dp[i][j][k]=inf;
                else dp[i][j][k]=c[i-k][j]*g[i-j][k];
            }
        }
    }

    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    if(dp[n][m][0]<k){printf("-1\n");return 0;}
   /// k--;
    int fix=m,wn=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(vis[j]) continue;
            if(fix==0&&i==j) continue;
            int nwn=wn;
            int nfix=fix;
            if(i==j) nfix--;
            else if(!vis[i]) nwn++;
            if(j<i) nwn--;
            ///printf("i=%d  j=%d  wn=%d   nwn=%d   fix=%d   nfix=%d   k=%lld  dp=%lld\n",i,j,wn,nwn,fix,nfix,k,dp[n-i][nfix][nwn]);
            if(k>dp[n-i][nfix][nwn]) k-=dp[n-i][nfix][nwn];
            else{
                fix=nfix;
                wn=nwn;
                ans[i]=j;vis[j]=true;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
    printf("\n");

}
/**
50 0 1000000000000000000
48 0 1000000000000000000
*/