质数筛以及质因数分解

今天正式学了一遍质数筛（已经可以打线性的质数筛了！）以及质因数分解，要做一个小小的总结。

知识点前缀：

1. 质数：除了1和它本身没有其他的因数，一般指的都是正整数。；
2. 筛法：筛法是一种简单检定素数的算法。
3. 筛法的来源：因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。
4. 筛法的具体做法：给出要筛数值的范围n，找出n以内的素数p1，p2，p3，…，pk。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去…。
5. 唯一分解定理：任何一个大于1的正整数都能够被唯一分解为有限个质数的乘积。

质数筛

对于质数筛而言，我们有三种做法：

1.试除法 $O(\sqrt{n})$

根据定义出发：若是我们除了1和它本身找到了其他的因子，那么这个数字一定不是质数，反之，则为质数。

那么，对于0和1本身，我们既要进行特殊判断，他们既不是质数也不是合数。

枚举因数的时候我们只需要枚举到根号即可，因为这样就可以判断他的所有的因数。（自行思考……）

bool primes(int x)
{
	if(x<2)	return false;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);++i)
		if(n%i==0)	return false;
	return true;
}

2.Eratosthenes 筛法 $O(nloglogn)$

上面的方法是我们直接判断该数字是不是质数，这样的话，我们每次只可以判断一个数字，效率极低。

那，我们想一下，是否可以直接找出一个范围里的质数呢？？

如果找质数不好找的话，我们可以通过找合数啊，正难则反，若是合数都被找出来了，那么最后剩下来的不就都是质数了吗？

那么，我们就可以通过已知的质数（2,3,5……）去标记合数。

从2开始，由小到大扫描每一个数字x，把他的倍数2x,3x,4x……都标记为合数。若扫描到一个数字未被标记，则他便不能被（2，x-1）的数字整除，所以该数字就是质数。

我们可以再继续想一下：对于6而言，他会被2,3标记两次(效率极低)……，实际上，小于$x^2$ 的x的倍数在扫描更小的数字的时候就已经被标记过了。所以，我们对于数字x而言，我们从x^2开始标记就可以了。

void primes(int x)
{
	memset(v,0,sizeof(v));//合数标记
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(v[i])	continue;
		prime.push_back(i);//该数字是质数
		for(int j=i;j<=n/i;++j)	
			v[i*j]=true; 
	} 
}

3.线性筛选 $O(n)$

虽然在上面的算法中有小小的优化，但是同样还是不可以改变数字会被该算法同时好多次标记的本质，比如12,36,60,120……这些数字同样会被2，3……同时进行标记……

所以，我们考虑被进一步的优化。

考虑数字x的因数的唯一确定方法：我们可以采用x的最小的质因数的乘积。比如：$12=2\ast 2\ast 3，6=2\ast 3$……这样子的话，我们就唯一确定了x的被遍历的方法，所以该数字就只会被遍历一次。

线性筛法的原理：每个合数必有一个最小的质因数的排列方式，用这排列方式把这个合数筛掉。

在每一把该数字的最小的质因子筛完之后，再次遍历到该数字的因数，便可以保证这个因数一定是质因数。（自行思考，还是比较好想的。）

void primes(int x)
{
	memset(v,0,sizeof(v));
	int m=0;//质数的数量 
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!v[i])	v[i]=i, prime[++m]=i;/*存储质数*/
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			if(prime[j]>v[i]||i*prime[j]>x)	break;
			v[i*prime[j]]=v[i];	
		}
	} 
}

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质因数分解

我们用上面的试除法以及Eratosthenes 筛法，找到 [2，$\sqrt{x}$]中x的所有的因子，并且把该因子在x中全部除尽，使得x中没有了该因子的参与。
比如：$12=2\ast 2\ast 3$，那么，对于12而言，我们就需要把两次2都除尽，使得12中只剩下了3的参与。

那么，显然，在上述的过程中可以整除x的数字都是质数。

void primes(int k,int x)
{
	for(int i=2;i<=sqrt(x);++i)
	{
		if(x%i==0)
			while(x%i==0)
				x=x/i, c[i]++;
	}
	if(x!=1)	c[x]++;
}

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最后的细节处理

1. 主义在判断的时候要有特判：0,1既不是质数也不是合数；
2. 判断单个数字是不是质数的时候一般用试除法，判断多个变量的时候用的是Eratosthenes 筛法和线性筛法；
3. 试除法枚举到$\sqrt{n}$;
   Eratosthenes 筛法（合数标记）的第二重循环枚举到$\frac{n}{i}$；
   线性筛法是找出所有的数字中最小的唯一的质因数分解。

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推荐题目：（注意问题的转化，有些问题有一些拔高，谨慎选做。）
P3383 【模板】线性筛素数
质数距离
阶乘分解
调整公约数

完……