【数论】欧拉函数与欧拉定理

数学杀我

欧拉函数

对于一个正整数$x$，小于$x$且和$x$互质的正整数的个数，记做$\phi (x)$。其中$\phi (1)$被定义为$1$。
$$\phi (x)=x\prod _{p|x}\frac{p-1}{p}$$
部分性质：

• 若$p$是质数，$\phi (p)=p-1$。
• 若$x$是质数$p$的$k$次幂，即$x=p^k$，有$\phi (x)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$。
• 欧拉函数是积性函数（若$x,y$互质，则$\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$）。

根据通式，枚举$x$的质因数。可枚举$\sqrt{x}$以内的质因数，若存在大于$\sqrt{x}$的质因数则额外处理。
时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

int phi(int x){
  int ans=x;
  for(int i=2;i*i<=x;i++)if(!(x%i)){
    ans-=ans/i;
    while(!(x%i))x/=i;
  }
  if(x>1)ans-=ans/x;
  return ans;
}

欧拉筛

Eratosthenes筛法筛质数：先假设所有的数都是质数。从小到大讨论，若$i$是质数，则$i$的倍数全部标记为合数。
用同样的方法求欧拉函数，先设$\phi (i)=i$，若$i$是质数，则$i$的倍数（即包含$i$这个质因数的数）的函数值都要更新。
时间复杂度：$O(n{\log }_2{\log }_{2}n)$

void make_prime(bool*mk,int n){
  memset(mk,0,sizeof(mk));mk[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++)if(!mk[i])
    for(int j=i+i;j<=n;j+=i)mk[j]=1;
}
void make_phi(int*phi,int n){
  for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]=i;
  for(int i=2;i<=n;i++)if(phi[i]==i)
    for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

Euler筛法筛质数：每个合数仅被它的最小质因数筛去正好一次。
线性筛求欧拉函数利用了欧拉函数的一些性质（$p$为质数）：

• $\phi (p)=p-1$
• 若$i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=0$，那么$\phi (ip)=\phi (i)p$
• 若$i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p̸=0$，那么$\phi (ip)=\phi (i)(p-1)$

时间复杂度：$O(n)$

void make_prime(bool*mk,int*p,int n){
  memset(mk,0,sizeof(mk));mk[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!mk[i])p[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++){
      mk[i*p[j]]=1;
      if(!(i%p[j]))break;
    }
  }
}
void make_phi(int*phi,bool*mk,int*p,int n){
  memset(mk,0,sizeof(mk));mk[1]=phi[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!mk[i])p[++tot]=i,phi[i]=i-1;
    for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++){
      mk[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j])phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
      else{phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
    }
  }
}

GCD的个数（NKOJ 3684）

问题描述
给定两个正整数$n$,$m$， 求满足下列两个条件的$x$的个数：
条件1：$1⩽x⩽n$
条件2：$gcd(x,n)⩾m$

输入格式
一行，两个整数$n$和$m$

输出格式
一行，一个整数，表示所求结果

样例输入
10 2

样例输出
6

提示
$2⩽n⩽1000000000,1⩽m⩽N$

先考虑满足$x⩽n$且$gcd(x,n)=d$的$x$的个数，显然$gcd(\frac{x}{d},\frac{n}{d})=1$
$\therefore \frac{x}{d}$为$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$内的与$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$互质的数，总共有$\phi (\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$个。
于是只需枚举$n$的因数$d$，当$d⩾m$时答案增加$\phi (\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$。由于$n$较大，可以把枚举量减少到$\sqrt{n}$。特殊情况特殊处理。

#include
typedef long long LL;
LL phi(LL x){
  LL ans=x;
  for(LL i=2;i*i<=x;i++)if(!(x%i)){
    ans=ans-ans/i;
  	while(!(x%i))x=x/i;
  }
  if(x>1)ans=ans-ans/x;
  return ans;
}
int main(){
  LL n,m,ans=0;
  scanf("%lld%lld",&n,&m);
  for(LL d=1;d*d<=n;d++){
    if(d>=m&&!(n%d))ans+=phi(n/d);
    if(d*d<n&&!(n%d)&&n/d>=m)ans+=phi(d);
  }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}

费马小定理

如果$p$是素数，且$a$与$p$互质，即$gcd(a,p)=1$，那么
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

证明：
有小于质数$p$的$p-1$个数构成的集合$A=\{1,2,3,\dots ,p-1\}$，显然$A$中的数都与$p$互质。
将集合$A$中的数乘以$a$并对$p$取模，放入集合$B$，于是$B=\{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,2a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,3a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,\dots ,(p-1)a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\}$
$B$中的数都小于$p$，并且由于$gcd(a,p)=1$，这些数都与$p$互质，得到$A=B$。
将两个集合的元素分别相乘得$$(p-1)!\equiv (p-1)!a^{p-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
$\therefore a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

求乘法逆元

因为$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，那么$a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
所以$a^{p-2}$就是$a$关于模$p$的乘法逆元。

欧拉定理

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况。
若$a,n$为正整数，且$a,n$互质，即$gcd(a,n)=1$，则有：
$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$

证明过程参考费马小定理。
$a$与$n$互质时，可用欧拉定理降幂。
$$a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$

一般地，$b⩾\phi (n)$时：
$$a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (n)+\phi (n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$