夜深人静写算法（十一）- 最小包围球

一、前言

        1、空间点集的最小包围球

       【例题1】三维空间中N(N <= 1000000)个点的集合，需要求一个球体包围所有的点，并且半径最小。算法要求给出这个球体的球心和半径大小。

图一-1-1

       最小包围球在计算几何、碰撞检测、人工智能以及模式识别等领域都有着广泛应用。计算机图形学中，三维空间点集的最小包围球相比三维凸包而言，可以更加快速且精确的进行碰撞检测。而这些领域中点集的数据量往往是巨大的，所以快速有效的求解最小包围球的算法就显得尤为重要。

       我们知道一个三维空间中离散点集的最小包围球一定是唯一的，只要求出这个球心，半径就是球心到所有点的距离的最大值，那么如何求出这个球心成了问题的关键。本文将利用随机增量算法从二维的情况（最小覆盖圆）对问题进行深入剖析，从而扩展到三维的情况。首先 来看下二维的情况：

        2、平面点集的最小覆盖圆

       【例题2】平面上N(N <= 1000000)个点的集合，需要求一个圆，使得它能包含（覆盖）所有的点，并且半径最小。要求输出这个圆的坐标和半径大小。

图一-2-1

       两者看起来是类似的问题，然而当我们思考空间问题没有头绪的时候，往往可以采用降维的思想，将空间问题转化成平面问题，然后再回到空间问题。那么，接下来本文将循序渐进，将求解最小覆盖圆的算法从O(n^4)优化到O(n^3)、再优化到O(n^2)。最后推翻之前的一切引入一个O(n)的算法。

       介绍算法之前，首先来看一个概念，也是本文的核心算法，即随机增量算法。

二、随机增量算法

        1、增量算法

       增量算法（Incremental Algorithm）可以参考初中学的数学归纳法去理解。如果你已经熟悉动态规划，那么增量法就是动态规划的简化版。本质就是将问题划分为规模小一层的子问题，然后求解子问题后再计算原问题的解。

        2、随机增量算法

       随机增量算法的核心是一个洗牌算法，即随机打乱原本序列的顺序，如下：

     void randomSuffle() {

         for(i = 1 to n)

             swap(p[i], p[random(1,n)]);

     }

       然后，按照洗牌后的顺序执行固定算法。由于洗牌是纯随机的，所以对于依赖于原序列顺序的算法来说，可以很好的规避掉"worst case"。并且可以通过随机性来计算概率和算法的期望复杂度。接下来就以最小覆盖圆来介绍随机增量算法的执行原理。

三、最小覆盖圆

        1、O(n^4)算法

       由于三个不共线的点确定一个圆，所以很容易想到一个O(n^4)的算法。

       枚举任意三个不公线点算出对应三角形外接圆的圆心和半径，然后判断其它点是否在这个圆内。取所有满足条件的圆中半径最小的那个就是所求的最小包围圆。枚举三点复杂度O(n^3)，加上一步判断轮询O(n)，总的时间复杂度O(n^4)。

       当然，这里漏掉了一种情况，就是有可能这个最小覆盖圆只经过两个点。所以还需要枚举任意两点为直径的圆，判断其它点是否在其内，这一步是O(n^3)的。所以总的算法复杂度还是O(n^4)。

图三-1-1

        2、O(n^3)算法

       对以上思路进行一个优化，我们知道最小覆盖圆必然至少经过两个点（除非原点集一共只有一个点）。枚举任意两个点作为最小覆盖圆的一条弦，那么圆心必然在两点的中垂线上，如图三-2-1。这个覆盖圆有三种情况：

图三-2-1

       a、圆心为这两点的中点（蓝色圆）； b、圆心落在弦的左边（绿色圆）； c、圆心落在弦的右边（红色圆）；

图三-2-2

       如图三-2-2所示，蓝色线段XY代表圆上的弦，其余的点和弦上两点XY构成夹角（如图中的∠XAY、∠XBY、∠XCY、∠XDY），夹角的关系为：圆外角<圆周角<圆内角，所以要覆盖所有的点，必然要让这个夹角最小。那么只要遍历所有的点，找出夹角最小的这个点，三点确定一个圆。然后再判断其余的点是否在这个找到的圆内，枚举任意一条弦的复杂度O(n^2)，寻找夹角最小的点和判定是否在圆内是分开的操作，复杂度分别为O(n)，所以总时间复杂度O(n^3)。

        3、O(n)算法

       最后介绍一个平均期望O(n)的算法。

       1）随机增量法，打乱所有点的顺序。

图三-3-1

       2）以第①个点和第②个点为直径建立初始圆C，如图三-3-2所示。然后依次判断剩下n-2个点是否在这个圆内。

图三-3-2

       如果点p[i]在圆C内(3<=i<=n)，则不做任何处理；否则p[i]必定在前i个点所在最小覆盖圆的边界上，求出这个圆后更新C。于是问题转化成：求前i个点的最小覆盖圆，并且点p[i]在圆上。

       3）以第①个点和第i个点p[i]为直径建立初始圆C'。然后依次判断前i个点是否在这个圆内。

图三-3-3

       如果点p[j]在圆C'内(j < i)，则不做任何处理；否则p[j]必定在前j个点所在最小覆盖圆的边界上，求出这个圆后更新C'。于是问题转化成：求前j个点的最小覆盖圆，并且点p[i]和点p[j]都在圆上。

       4）以第i个点和第j个点为直径建立初始圆C''。然后依次判断前j个点是否在这个圆内。

图三-3-4

       如果点p[k]在圆C''内(k < j)，则不做任何处理；否则用点p[i]、p[j]、p[k]三点确定一个圆更新C''，继续判断剩下的点l (k < l < j)。

图三-3-5

       5）然后用C''更新C'，再用C'更新C。就这样迭代求出包含前i个点的最小包围圆C。最后来看一下前5个点的最小覆盖圆。

图三-3-6

       可能这样讲下来有点迷，那么我们仔细分析一下上述算法。首先该问题有几个子问题，如图三-3-7所示，分别为：

       【1】前i个点的最小覆盖圆；

       【2】前i个点的最小覆盖圆，且点p[i]在该圆边界上；

       【3】前j个点的最小覆盖圆，且点p[i]和点p[j]在该圆边界上；

图三-3-7

       这样把状态一划分，问题就变得简单许多了。自底向上的分析，【3】的情况我们已知圆上两点，那么只要再知道一个点就可以直接采用圆心（未知量）到圆边界点（已知量）距离相等列方程求解二元一次方程组计算得到（即三点确定一个圆），所以枚举所有前j个点计算半径最大的那个圆就是【3】问题的解。而【2】的情况是我们已知圆上一点，那么再枚举一点就可以转变成【3】的情况。同样，【1】的情况是只要枚举一点就可以转变成【2】的情况，自底向上的递归求解即可。

        最小覆盖圆参考代码如下： 最小覆盖圆

        4、O(n)算法时间复杂度分析

       如果没有一开始的洗牌算法，考察该算法将会有三个for循环，那么最坏情况就是每次加入的点都在前i个点组成覆盖圆的外面，所以算法的最坏时间复杂度还是O(n^3)的。但是一旦顺序打乱以后，情况就不同了。

       有一条很重要的性质就是：第i个点在前i-1个点所组成的最小覆盖圆外的概率为3/i。

       证明如下：随机生成i个点，求出它们的最小覆盖圆，这个最小覆盖圆必然是圆上的某3个点确定的（2个点的情况计算得到的概率更小所以不考虑）。那么最后生成的那个点（第i个点）只要不是那3个点中其中一个，则必然落在圆内；反之在圆外。所以第i个点在前i-1个点组成的最小覆盖圆外侧的概率仅为3/i。

       对于第i个点，只有3/i的概率是需要重新计算前i个点的最小覆盖圆，其它情况都是pass，所以总的均摊复杂度是O(n)的。

四、最小包围球

        1、O(n)算法

       最后我们将上述问题扩展为三维（如果对最小覆盖圆算法还没有完全理解请止步于此）。

       算法思路完全参照二维求最小覆盖圆的情况：

       1）随机增量法，打乱所有点的顺序。

       2）【前i个点的最小包围球】以第①个点和第②个点为直径，两点中点为球心，建立初始球C。然后依次判断其它点是否在这个球体内，如果点p[i]在球C内(3<=i<=n)，则不做任何处理；否则p[i]必定在前i个点所在最小包围球的边界上，求出这个球后更新C。于是问题转化成：求前i个点的最小包围球，并且点p[i]在球上。

       3）【前i个点的最小包围球，且经过点 p[i]】以第①个点和第i个点p[i]为直径建立初始球C'。然后依次判断前i个点是否在这个球内。如果点p[j]在球C'内(j < i)，则不做任何处理；否则p[j]必定在前j个点所在最小包围球的边界上，求出这个球后更新C'。于是问题转化成：求前j个点的最小包围球，并且点p[i]和点p[j]都在球上。

       4）【前j个点的最小包围球，且经过点 p[i]和p[j]】以第①个点、第i个点p[i]、第j个点p[j]三点确定一个空间圆，以这个空间圆的圆心建立初始球C''。然后依次判断前j个点是否在这个球内。如果点p[k]在球C''内(k < j)，则不做任何处理；否则p[k]必定在前k个点所在最小包围球的边界上，求出这个球后更新C''。于是问题转化成：求前k个点的最小包围球，并且点p[i]、点p[j]、点p[k]都在球上。

       5）【前k个点的最小包围球，且经过点 p[i]、p[j]、p[k]】以点p[i]、点p[j]、点p[k]三点确定一个空间圆，以这个圆的圆心建立初始球C'''。然后依次判断前k个点是否在这个球内。如果点p[l]在球C'''内(l < k)，则不做任何处理；否则p[i]、p[j]、p[k]、p[l]四点确定一个球，求出所有这些球中半径最大的更新C'''。最后用C'''更新C''，用C''更新C'，再用C'更新C。得到前i个点的最小包围球。

       虽然算法描述异常枯燥，但是2、3、4、5其实是类似的步骤，实际实现的时候还是很简单的。

       最小包围圆参考代码如下： 最小包围球

        最后讲一下第5步中三点确定球和四点确定球的计算方式。

        2、空间三点外心

       空间三点确定的最小包围球的球心一定是三点外接圆圆心（如图三-2-1中的O点，三角形ABC在球O的一个径面上），首先O在平面ABC上，所以我们先要求出平面ABC的表达式。

如图三-2-1

        a) 点法式计算平面

        平面方程用点法式表示为：

其中(nx,ny,nz)代表平面法向量，(x0,y0,z0)为平面上一点，那么现在就是要求平面法向量n，我们利用三维向量的叉乘来实现。

如图三-2-2

        如图三-2-2，右手法则，四个手指按逆时针方向握紧（从a握到b），大拇指指向方向表示向量a和向量b所在的平面的法向量方向，即a×b。则有：

如图三-2-3

利用对角线法则，可得：

如图三-2-4

最后用A点（或B、C点皆可）替代(x0, y0, z0)，代入点法式方程，就计算得出了平面ABC的一般式(A、B、C、D为常数)：

        b) 距离法计算外心

        令O为空间三角形ABC的外心，|OA|=|OB|=|OC|，拿|OA|=|OB|举例，有：

如图三-2-5

然后联合|OB|=|OC|以及点O在平面ABC上得到三个方程三个未知数，利用高斯消元求解(Ox,Oy,Oz)（以前写的一个高斯消元的算法简介： 高斯消元 ）。

如图三-2-6

        3、空间四点球心

       首先，我们要排除任意三点共线和四点共面的情况，对于最小包围球求解过程中不会出现这样的情况（请读者自行思考）。所以我们只需要考虑四点不共面的情况。不共面的四点必然能够确定一个球，假设球心为O，则必然满足O到球面上的四点A、B、C、D距离相等。

如图三-3-1

还是利用距离的两两相等，得到三个三元一次的方程，同样利用高斯消元求解(Ox,Oy,Oz)即可：

如图三-3-2

五、最小包围球相关题集整理

最小覆盖圆

     ZJU 1450 Minimal Circle

     HDU 3007 Buried memory

     HDU 3932 Groundhog Build Home

     BZOJ 2823 信号塔

最小包围球

     PKU 2069 Super Star

     HDU 2226 Stars