Luogu P6191 [USACO09FEB]Bulls And Cows S （递推）

来源：JZOJ，Luogu P6191 传送门

题目背景

一年一度的展会要来临了，$FarmerJohn$ 想要把 $N（1\le N\le 100,0001\le N\le 100,000）$只奶牛和公牛安排在单独的一行中。 $John$ 发现最近公牛们非常好斗；假如两只公牛在这一行中靠的太近，他们就会吵架，以至于斗殴，破坏这和谐的环境。

题目描述

$John$ 非常的足智多谋，他计算出任何两只公牛之间至少要有 $K（0\le K<N0\le K<N）$只奶牛，这样才能避免斗殴。$John$ 希望你帮助他计算一下有多少种安排方法，可避免任何斗殴的的发生。$John$ 认为每头公牛都是一样的，每头奶牛都是一样的。因而，只要在一些相同的位置上有不同种类的牛，那这就算两种不同的方法。

解题思路

• 这是一道 递推，还是需要动一动脑筋的。
• 既然是 递推，那就少不了状态和状态转移方程，其实 递推 就是 dp 的本质。首先设置状态，设当前位置放奶牛的最优解是 $r[i]$ ，当前放公牛的最优解是 $b[i]$，那么就可以得到状态转移方程：
  $$r[i]=r[i-1]+b[i-1];$$
  $$b[i]=r[i-k-1]+r[i-k-1];$$
  这两个状态转移方程应该还是很好理解的，第一个因为当前如果放奶牛，那么显然前一个位置可以是奶牛也可以是公牛；第二个因为当前如果放公牛，那么说明至少在 $i-k-1$ 这个位置才能放公牛，所以方法数是 $r[i-k-1]+b[i-k-1];$ ，为什么加的是 $r[i-k-1]$ 呢？因为举个栗子，如果加上了 $r[i-1]$，那是不是有可能吧 $i-2$ 的位置为公牛的情况也包括进去了？而题目要求中间 $k$ 头必须是奶牛，所以这样就不合法了。但是加上 $r[i-k-1]$ 就没问题了，我管你第 $i-k-2$ 这个位置放的是奶牛还是公牛呢！这样一分析，能够理解了吧？

美妙的Code

#include 
using namespace std;
int r[1000000]={},b[1000000]={};
int main()
{
	int n,k;
	cin >> n >> k;
	r[1]=1;  //第1个位置放奶牛或放公牛都只有一种方案
	b[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		r[i]=(r[i-1]+b[i-1])%5000011;  //最简单的转移房程
		if (i<=k+1) b[i]=1;  //得保证i足够大，不然数组越界QAQ
		 else b[i]=(r[i-k-1]+b[i-k-1])%5000011;  //上面解释过了
	}
	cout << (r[n]+b[n])%5000011;  //最后一个位置可以是奶牛或公牛
	return 0;
}