组合数学 —— 卡特兰数列（Catalan）

【概述】

卡特兰数列是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, ......

卡特兰数首先是由欧拉在计算对凸 n 边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，即在一个凸 n 边形中，通过不相交于 n 边形内部的对角线，把 n 边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用 Hn 表示，Hn 即为卡特兰数。

【公式】

1.递归公式 1

2.递归公式 2

3.组合公式 1

4.组合公式 2

【应用】

1. 二叉树的计数：已知二叉树有 n 个结点，求能构成多少种不同的二叉树
2. 括号化问题：一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如：(())()也是合法表达式，现给出 n 对括号，求可以组成的合法表达式的个数
3. 划分问题：将一个凸 n+2 多边形区域分成三角形区域的方法数
4. 出栈问题：一个栈的进栈序列为1,2,3,..n，求不同的出栈序列有多少种
5. 路径问题：在 n*n 的方格地图中，从一个角到另外一个角，求不跨越对角线的路径数有多少种
6. 握手问题：2n 个人均匀坐在一个圆桌边上，某个时刻所有人同时与另一个人握手，要求手之间不能交叉，求共有多少种握手方法

【实现】

1.n<=35 的卡特兰数的实现

LL h[36];
void init() {
    h[0]=h[1]=1;
    for(int i=2; i<=35; i++) {
        h[i]=0;
        for(int j=0; j

2.n<100 的卡特兰数的实现

#define BASE 10000
int a[100+5][100];
void multiply(int num,int n,int b) {//大数乘法
    int temp=0;
    for(int i=n-1; i>=0; i--) {
        temp+=b*a[num][i];
        a[num][i]=temp%BASE;
        temp/=BASE;
    }
}
void divide(int num,int n,int b) {//大数除法
    int div=0;
    for(int i=0; i

 【例题】

• 小兔的棋盘（HDU-2067）(n<=35的卡特兰数)：点击这里
• Game of Connections（POJ-2084）(n<100的卡特兰数)：点击这里
• 小a的学期（2019牛客寒假算法基础集训营 Day1-H）(卡特兰数列+组合数取模)：点击这里