常用的统计学分布总结

1.伯努利分布（又称之为二点分布或者0-1分布）

伯努利分布（Bernoulli Distribution），是一种离散分布，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。例如抛硬币的正面或反面，物品有缺陷或没缺陷，病人康复或未康复，此类满足「只有两种可能，试验结果相互独立且对立」的随机变量通常称为伯努利随机变量。

对于伯努利随机变量 X，如果使用 1 表示成功，其概率为 p(0；使用 0 表示失败，其概率为 q=1-p。则可以称伯努利随机变量 X 服从参数为 p 的伯努利分布，其分布律为：

 在实际中，产品抽样检查问题是其最主要的应用

2.二项分布

假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算：

二项分布，可以看成是完成N次伯努利试验的分布，也可以被称之为N重伯努利实验。

可见，n 重伯努利试验需满足下列条件：

• 每次试验只有两种结果，即 X=1，或 X=0
• 各次试验中的事件互相独立，且 X=1 和 X=0 的概率分别为 p(0 和 q=1-p

二项分布性质如下：

二项分布的另一个性质是其分布形状的变化规律。从二项分布概率质量函数P(x)可知，概率分布只与试验次数n和成功概率p有关，其分布形状的变化规律为：

• "成功"概率p越接近0.5(也即"成功"概率与"失败"概率越接近)，二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数n不变，随着成功概率p越接近0.5，二项分布逐渐对称，且近似于均值为np、方差为npq的正态分布。(见下图的第一排3个子图)

• 对于任意"成功"概率p，无论其距离0.5有多远，随着试验次数n的增加，二项分布与均值为np、方差为npq的正态分布越来越接近。(见下图的第二排3个子图)

以上两个二项分布形状变化规律，可明显由下图观察出来。图中的横轴代表试验"成功"的次数；纵轴代表次数对应的概率；红线是均值为np、方差为npq的正态分布曲线。

 3.泊松分布（泊松分布(Poisson distribution)。它由法国数学家西莫恩·德尼·泊松 (1781–1840) 于1837年发表，在实际生活中有着非常广泛的应用。）

泊松概率分布描述的是在某段时间或某个空间内发生随机事件次数的概率，简而言之就是：根据过去某个随机事件在某段时间或某个空间内发生的平均次数，预测该随机事件在未来同样长的时间或同样大的空间内发生k次的概率。其概率质量函数为：

 

 

泊松分布适用于描述某段时间(或某个空间)内随机事件发生的次数，因此它常用于预测某些事件的发生。例如：某家医院在一定时间内到达的人数；超市收银台在某段时间内的结账人数；某段时间内发生自然灾害的次数；某段时间内DNA序列的变异数；放射性原子核在一段时间内的衰变数等等。 

 假定在过去的历史中，某个随机事件在固定长度时间段发生的平均次数为λ，那么就可以将固定长度的时间分成n等份；在每等份的时间内，随机事件发生的概率可以表示为λ/n。若n趋于无穷大，也就是这段时间被分成无数的小段，那么λ/n的值将趋近于0，也就是在每个等份的时间内，该随机事件发生两次或两次以上是不可能的。根据以上假设条件，在固定长度时间内，随机事件发生k次的概率服从二项概率分布，可以表示为：