降幂算法

欧拉降幂公式

$a$^b$\equiv a$^{b%$\phi (p)$+$\phi (p)$}$(modp)$   $（b>\phi (p)）$

可以把大指数转化成不超过$\phi (p)$的指数。
注意，这里不要求a,p互质。
注意，这里不要求a,p互质。
注意，这里不要求a,p互质。（重要的事情说三遍！！！）
证明就不说啦，太菜了…

费马小定理

首先p是一个质数，$a$^p$\equiv a(modp)$。若gcd(a,p)=1时，$a$^p-1$\equiv 1(modp)$；若gcd(a,p)=p，$a$^p-1$\equiv 0(modp)$
可以看出费马小定理是欧拉的特殊情况，即p是质数，$\phi (p)=p-1。$
 
 

传送门：Days passing

题意： 已知当前是周几，求$N^M(1<=N<10$¹⁰⁰⁰⁰$,6<=M<10000,M是6的整数倍)$天后是周几。
解析： 根据费马小定理：7是质数，
如果N是7的倍数，$N^M$%7=0，周数不变，
如果N不是7的倍数，$N^M$%7=1，周数向前一天。
代码：

#include
using namespace std;
char N[10010];
string str;
int n=0,m;
int main(){
    cin>>str;
    scanf("%s",N+1);
    scanf("%d",&m);
    int len=strlen(N+1);
    for(int i=1;i<=len;i++){
        n=(n*10+N[i]-'0')%7;
    }
    if(n==0) cout<<str<<endl;
    else {
        if(str=="Mon") cout<<"Tue";
        else if(str=="Tue") cout<<"Wed";
        else if(str=="Wed") cout<<"Thu"<<endl;
        else if(str=="Thu") cout<<"Fri"<<endl;
        else if(str=="Fri") cout<<"Sat"<<endl;
        else if(str=="Sat") cout<<"Sun"<<endl;
        else if(str=="Sun") cout<<"Mon"<<endl;
    }
    return 0;
}

 

传送门：sum

题意： 由1个数，2个数，3个数，…，n个数相加等于N（N为大整数）的不同情况有多少种。
解析： 用挡板法，假设N=3，有：1 1 1，有两个间隙。一个数时不需要加挡板为C(2,0)，两个数时加一个挡板为C(2,1)，三个数时加两个挡板为C(2,2).那么其实就是求：C(N-1,0)+C(N-1,1)+C(N-1,2)+…+C(N-1,N-1)=2^N-1。
答案mod 1e9+7。那么就对N进行大整数模拟取模1e9+6,最后再-1。再用快速幂即的答案。
代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
char s[100010];
int N[100010];
int main(){
    while(~scanf("%s",s+1)){
        int len=strlen(s+1);
        long long sum=0;
        for(int i=1;i<=len;++i){
            sum=(sum*10+s[i]-'0')%(mod-1);
        }
        sum--;
        long long ans=1,tmp=2;
        while(sum){
            if(sum&1) ans=(ans*tmp)%mod;
            tmp=(tmp*tmp)%mod;
            sum/=2;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

 

传送门：上帝与集合的正确用法

题意：
解析： 考虑欧拉降幂，f(p ) =2^{2%oula(p )+p}%p ，f(oula(p ))=2^{2%oula(oula(p ) )+oula(p )}%oula(p )，可以看出这是一个递推式，如果直接递推时间复杂度是否可行？
p到oula(p ) =p*(1-p/p₁)…*(1-p/p_n)。当p是偶数，一定有p₁=2，会乘上1/2；当p是奇数，oula(p )一定是偶数，因为它包含奇数质因子1-（1/奇数）会产生偶因子。
代码：

#include
#include
using namespace std;
int oula(int n){
    int rea=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            rea=rea-rea/i;
            do{
                n/=i;
            }while(n%i==0);
        }
    }
    if(n>1) rea=rea-rea/n;
    return rea;
}
int qp(int a,int b,int p){
    int ans=1,tmp=a;
    while(b){
        if(b&1) ans=(1ll*ans*tmp)%p;
        tmp=(1ll*tmp*tmp)%p;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
map<int,int> mmp;
int f(int p){
    if(mmp[p]!=0) return mmp[p];
    int ol=oula(p);
    if(p==1||p==2){
        return 0;
    }
    int t=qp(2,f(ol)+ol,p);
    mmp[p]=t;
    return t;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int p;
        scanf("%d",&p);
        printf("%d\n",f(p));
    }
    return 0;
}