成为组合博弈master之路——SG和他们好朋友们

成为组合博弈master之路

引言

组合博弈如今是信息学竞赛中十分重要的组成部分，因为一方面其天然与动态规划等算法思想契合，有着各种优美的性质；另一方面其形式多变，主要偏重于对思维的考察，对代码能力的要求相对较低，所以适合出成竞赛题。本文中，我们从组合博弈的原始形态：NIM博弈谈起，再谈到更一般的无向图上的组合博弈，并给出这类问题的一个通解。接下来我们引入NIM游戏和，NIM游戏积的概念，得到了单个游戏的组合情形，并利用SG定理给出相应的解法。最后，我们引入SG的一些变形形式，并分别对其提供解答。

本文写作的初衷，是想将所有信息学竞赛相关的组合博弈知识融汇贯通，为ACM选手及OI选手提供一些有价值的信息。

组合博弈

定义

我们先给出在组合博弈概念中所有出现的名词：

• 玩家：即组合博弈的参与者，用大写字母 $L，R$ 表示。
• 局面：游戏中某一时刻的状态，比如在围棋游戏中，某一时刻棋盘的状态就是一个局面，可以用一个 $19\times 19\times 3$ 的矩阵来记录这个局面。我们记局面为小写字母 $g$ 。所有可能发生的局面构成的集合，称为一个局面集合，用大写字母 $G$ 表示，且 $g\in G$。
• 操作：对一个局面进行操作可以得到另一个局面，如果一个局面 $g_1$ 在一步操作之后可以得到局面 $g_2$，我们可以记操作 $f$ 为 $f(g_1)=g_2$。
• 局面的后继：对于任意一个局面 $g_1$ ，如果可以通过操作 $f$ 得到局面 $g_2$, 则称 $g_2$ 是 $g_1$ 通过操作 $f$ 得到的后继局面。特别地，对于局面 $g$，如果可以通过操作集合 $F=\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 得到后继状态，则后继状态集合可以被表示为 $F(g)=\{g_1^{\prime },g_2^{\prime },\cdots ,g_n^{\prime }\}$。
• 策略：由一个或多个玩家及其对应的有序的操作序列构成

接下来我们给出组合博弈的一般定义：

1. 由两名玩家：左玩家 $L$ 和右玩家 $R$ 参与，后文中常用先手表示左玩家，后手表示右玩家
2. 游戏的局面集合是有限的，即 $\exists M\in N^{+},s.t.|G|<M$
3. 游戏双方轮流操作
4. 游戏是公平的，在任一状态，双方操作得到的后继状态集合一致，即 $F_L(g)=F_R(g)$
5. 游戏是透明的，在任一时刻，双方都知道对方的之前的操作序列
6. 游戏是有边界的，即有些状态没有后继状态
7. 游戏是有穷的，即一定保证游戏在有限步内结束
8. 游戏是确定的，对于玩家在某一局面的某一操作，只会产生唯一的后继局面

事实上，如果将所有状态及其后继状态之间连一条有向边，我们将得到一个DAG。对于任何一个组合游戏，我们都可以理解为一个有向图游戏，初始时刻有一个棋子在某一节点（局面）上，双方（玩家）轮流沿着有向边移动棋子（操作），最先满足某种条件的玩家获得胜利。棋子移动的路径及每轮的移动者构成一个策略。

我们要解决的一般有两种问题

1. 胜负性检验
2. 必胜后继状态求解

第一个实例：Bash Game

题目描述

有一堆 $n$ 石子，两人轮流从中取石子，每次可以取 $1$ 个或 $2$ 个或 $3$ 个石子，问先手是否有必胜策略。如果有，输出先手第一步应该取几个；如果没有，输出0。

题目分析

在这个问题中，一个局面可以可以用一个整数 $n$ 表示，即这堆石子还剩多少个。在给定初始局面的情况下，其所有直接或间接后继局面构成的集合显然是有限的，即满足有限性；每次取石子后，总数都会变少，所以游戏是有穷的，不会形成回路；组合博弈其他的性质也都满足，所以我们认为这是一个组合博弈问题。

事实上，如果用有向图来表示这个游戏，就是一个链上添加若干 $x\to \{x-1,x-2,x-3\}$ 的边，即一个有向图。

题目解法

这是一道小学奥数题，观察打表可以发现，当 $n\%4==0$ 先手必败，否则先手必胜（胜负性检验）。先手只要取 $n\%4$ 个石子即可保证自己必胜（必胜后继状态求解）。

基本解法

上文中我们通过观察得到了问题的解，事实上，观察/打表是组合博弈的一种通用解法，打表可以快速得到问题的特征，从而推断出解法，再用数学归纳法等方法证明解法的正确性。所以我们先研究这类问题的一个通用解法，保证对于任何一个组合博弈问题，在不考虑复杂度的情况下，问题总是可解的。

必胜态，必败态

回到上文的 Bash Game，不难发现，如果先手想要获胜，就得将后手的局面变成 $4n$，这样不管后手如何操作，都会得到 $4n+1/2/3$ ，先手可以不停重复上述循环直到 $n=0$。而如果先手一开始就是 $4n$ ，则其无论如何操作，后手都可以用类似的方法制裁他。看上去 $4n$ 是问题的一个关键点，谁将对手逼到 $4n$ 上，谁就能获得胜利。

在这里，我们可以认为 $4n$ 为一个必败态 $N$，而其他所有状态都是必胜态 $P$。我们将从中导出组合博弈问题的一般形式——NP局势。

NP局势

首先给出必败态 $N$ 的定义，一个局面 $g\in N$ 局势当且仅当其满足以下两条之一：

1. $F(g)=\varnothing$，即即没有后继状态
2. $\forall g^{\prime }\in F(g)s.t.g\in P$

且有必胜态定义，一个局面 $g\in P$ 局势当且仅当：

1. $\exists g^{\prime }\in F(g)s.t.g\in N$

换言之，必胜态一定有一个后继局面是必败态；必败态的所有后继局面都是必胜态（或者不存在）。一个推论是，在组合博弈对偶的有向图中，如果从所有的汇点（必败态）开始做拓扑排序，可以将图中每一个节点都染成必胜态或者必败态，由定义可知成立。并且在同一状态为先后手的局面恰好状态相反，这也是显然的，因为一个获胜另一个必然失败。

回到 Bash Game，$0$ 是一个必败态，从而 $1，2，3$ 可以抵达 $0$ ，为必胜态； $4$ 只能达到 $1，2，3$，无论怎么做都是让对手获胜，所以为必败态，以此类推可以得到所有局面的NP状态。

动态规划/拓扑排序

现在我们可以尝试用通法解决 Bash Game 了。

1. 首先我们找出所有的局势 $G=\{0，1，2，\cdots ，n\}$，画成点；
2. 然后找出所有的操作 $F(g=x)=\{x-i|x⩾i,i=1,2,3\}$；
3. 建立DAG；
4. 找到边界局面 $g=0$；
5. 做拓扑排序，计算NP状态。

接下来对于每一个状态，我们直接输出其NP状态即可，复杂度为 $O(|G|+|F|)$。拓扑排序实质上是一种动态规化的思想，所以动态规划的相关算法也可以用上，比如记忆化搜索，矩阵加速，四边形不等式等等。在一些查询稀疏的问题上，使用记忆化搜索有时会有更好的效果。

当然，这种解法的复杂度实在太高，虽然有着很强的通用性，但是时空复杂度消耗太大，完全没有用上问题本身可以用来优化的性质。所以在实际应用中，这种解法常常用来打小规模的表用于找规律。接下来我们将介绍一些可以用于优化的性质。

此外，在只需要计算胜负态的游戏中，在dp求解时，只需要在所有必败态上去更新必胜态，如果必败态稀疏时，复杂度将会很低(只需要访问少数的转移边)，需要注意这一点。

NIM和——SG函数

在 Bash Game 中，我们只处理一堆石子，如果有多堆石子呢？

第二个实例：nim游戏

题目描述

有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子有 $a_i$ 颗，每次可以从其中任意一堆中取不少于 $1$ 颗石子，取走最后一颗石子的玩家获胜，问先手是否有必胜策略。如果有，输出先手第一步应该取几个；如果没有，输出0。

题目分析

沿袭朴素解法的思路，建立大小为 $|G|={\Pi }_{i=0}^n(a_i+1)$ 的状态空间，建边，建DAG，拓扑排序求解，复杂度指数级开外，不可做。

但是可以发现，每个石子堆都是独立的，即这个 Nim Game 其实是多个独立游戏的和，且每次操作只能改变其中一个游戏的局面。这时，我们引入SG定理来解决这类游戏和的问题。

题目解法

令 $SG=\oplus \{{\oplus }_{i=1}^n{a}_i\}$，即将所有 $a_i$ 异或起来，如果结果为 $0$ 则必败，反之必胜。先手必胜策略为，取某堆中的若干石子使得余下的石子异或和为 $0$ ， 可以证明必定有解。

SG定理

关于SG产生的心路历程，可参阅 SG函数是怎么想出来的 ，在这里只给出定理内容。

定义 $SG(g)$ 为局面 $g$ 上的一个函数，且

1. $SG(g)=0whenF(g)=\varnothing$
2. $SG(g)=mex(\{SG(g)|g\in F(g)\})$

其中 $mex(X)$ 表示集合 $X$ 中最小的没有出现过的正整数，如 $mex(\{0,1,3,4\})=2$。

对于任意状态 $g$，当 $SG(g)=0$ 时有 $g\in N$ ，反之为 $g\in N$。

则对于游戏 $x$ 和游戏 $y$ 的和，有：
$$SG(x+y)=SG(x)\oplus SG(y)$$

分析上面的 Nim Game，对于每一堆石子，根据SG函数定义，$SG(x)=x$ 恰好成立，所以答案就是他们颗数的异或和。

相关的一些推导可以参考 博弈论 | 详解搞定组合博弈问题的SG函数，本文中不再赘述。

SG函数求解

多个游戏加在一起不好算，单个问题还不好算么，继续拿出拓扑排序的算法：

1. 首先我们找出单个游戏中所有的局势 $G=\{0，1，2，\cdots ，n\}$，画成点；
2. 然后找出所有相应的操作 $F(g=x)=\{x-i|x⩾i,i=1,2,3\}$；
3. 建立DAG；
4. 找到边界局面 $SG(g)=0$；
5. 做拓扑排序，维护 $mex$ 数组，求解各点SG值。

在这里有一些常用的小技巧，比如 mex 数组范围可以设置为有向图中最长链的长度；在线性问题上递推求解时，为了避免初始化mex数组带来的时间损耗，可以填写mex时将填入值设置为当前节点的编号，免去memset苦恼，如

int mex[maxn];
for(int i=0;i<n;++i){
	for(int j=0;j<g[i].size();++j){
		/*这里替换为你的 mex 计算算法*/
		mex[g[i][j]]=i;
	}
	for(sg[i]=0;sg[i]==i;++sg[i]);
}

NIM游戏与游戏和

当我们考虑游戏的“和”时，我们就会用到SG函数的概念。事实上，对于一个局面 $g$ ，如果有 $SG(g)=x$ ，我们可以等价的认为这个局面是 NIM Game 中一堆数量为 $x$ 的石子，这样就建立起SG函数与 NIM Game 之间的等价性。对于所有的和游戏，我们都可以计算出每个局面的 SG 值，然后将其规约为普通的 NIM Game 进行处理。

在建立这个等价关系的时候需要注意一点，在 NIM Game 中 ， $SG(g)=0$ 的子游戏有且仅有空石子堆，且没有后继状态；而在更普遍的和游戏中，这样的 $g$ 可能只是一个必败的中间局面，且其所有后继局面都是 $SG(g^{\prime })\ne 0$ 的必败态。SG函数可以认为是NP状态的一种拓展，对于每个必胜态继续细分其特征，从而实现游戏和的快速求解。

NIM积——高维NIM游戏

第三个实例：Switch lights

题目描述

在一个二维网格，每个格子上有一个灯泡，有若干个灯泡亮着，每次玩家可以选择其中一个位于 $(x,y)$ 的亮着的灯泡，并且选择一个 $(a,b)$ 满足 $0<a<x,0<b<y$ ，翻转位于 $(x,y),(x,b),(a,y),(a,b)$ 位置上的灯泡。关掉最后一盏灯者获胜，问先手是否有必胜策略。

题目分析

如果是一维的，那么这就是一个nim游戏，那么几个灯泡放一块本质上就是一个nim和，把每个灯泡的sg值求出来异或即可。

现在问题在于，每个灯泡怎么求。

题目解决

NIM提供了一个解决方案,对于坐标 $(x,y)$ ，算法如下:

/* TEMPLATE BEGINS HERE*/

int n,sg[2][2]={0,0,0,1};   
//definition

int mulp(int x,int y){      
//calc nim production of x and y as power of 2
    if(x<2)return sg[x][y];

    int m;
    for(m=2;m*m<=x;m*=m);
    int p=x/m,s=y/m,t=y%m;
    int d1=mulp(p,s);
    int d2=mulp(p,t);
    return (m*(d1^d2))^mulp(m/2,d1);
}

int mul(int x,int y){       
//calc nim production of x and y
    if(x<y)swap(x,y);
    if(x<2)return sg[x][y];

    int m;
    for(m=2;m*m<=x;m*=m);
    int p=x/m,q=x%m,s=y/m,t=y%m;
    int c1=mul(p,s);
    int c2=mul(p,t)^mul(q,s);
    int c3=mul(q,t);
    return (m*(c1^c2))^c3^mulp(m/2,c1);
}

/* Call this function DIRECTLY for usage */
/* May exploit DP(Memory search) for acceleration*/

int solve(int x,int y){
    return mul(x,y);
}

/* TEMPLATE ENDS HERE*/

高维NIM积

NIM积给出一个在高维情形下的求解方式，对于一个任意维度的矩形，坐标 $(x,y,....,z)$ 的上的点如果可以取一个各个坐标都小于他的点，并且这两点生成的高维矩阵的顶点都进行一次switch。那么可以使用NIM积求解。

上面给出了二元nim积，对于更高维度的情形，只要重复调用，全部累计在一起即可。

推导过程参见 NIM积解法小结，算法出自 《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》。

SG的变体形式

ANTI-SG(SJ)

ANTI-NIM 指取走最后一个石子的人落败的 NIM 游戏。给出 ANTI-NIM 更一般的定义：

1. 操作集合为空的玩家获胜
2. 其余规则与SG游戏一致

则有 SJ 定理（出自《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》，这篇论文介绍了很多组合博弈的模型，可以参考博弈:关于SG函数的一些心得 的总结，下一节 MULTI-SG 也出自这篇论文），对于任意一个Anti-SG游戏，如果定义所有子游戏的SG值为0时游戏结束，先手必胜的条件：

1. 游戏的SG值为0且所有子游戏SG值均不超过1
2. 游戏的SG值不为0且至少一个子游戏SG值超过1

该定理只在所有 $SG(g)=0$ 的必败态局面 $g$ 都没有后继局面存在时成立，所以当该问题从 NIM 外推到更一般的 ANTI-游戏和 问题时，需要判断所有必败态是否都没有后继局面，若不满足则该定理不保证正确。

在解决该类问题时，仍然按照经典的 SG 函数的方法计算 SG 函数，如果存在某个子游戏 SG 值大于1，则该问题与一般的游戏和问题结果一致（局面SG值够大时先手选择余地更多，直觉上总能找到更多好的解）；如果所有SG值均小于等于1，则该游戏胜负则倒置（局面SG值都很小时，选择余地有限，和 $SG(g)=1$ 的局面的奇偶数强相关，也因此如果 $SG(g)=0$ 如果存在一个很大SG很大的后继局面，则问题将会复杂到难以快速求解）。

但是反过来，如果不使用SJ定理（即不满足无后继条件且局面集合够小时），则设置所有没有后继局面的的局面 $g$ 为必胜态，即满足 $g\in \{g|F(g)=\varnothing \}$ ，在此基础上进行拓扑排序。需要注意的是，这种情况下也能求一个类似 SG 值的数值，但是因为定义发生了变化，所以这个类 SG 值不能用于游戏和的快速求解，因此没有必要求这个值，直接推断 NP 状态即可。

MULTI-SG

MULTI-SG也是一种游戏和模型，一个子游戏在一次操作后可能出现多个后继子游戏。给出 MULTI-NIM 游戏更一般的定义：

1. 一个子游戏在一次操作后可能出现多个后继子游戏
2. 其余规则与SG游戏一致

事实上，根据 SG 定理，我们只要把局面 $g$ 中某个子游戏的某次操作后产生几个子游戏对应的局面的 SG 值异或起来，将他们的游戏和看成一个后继局面，则该问题就变成了一般的 SG 游戏和问题。即若有局面 $g$ 及其后继局面集合 $$F(g)=\{g_1^{\prime },g_2^{\prime },\cdots ,g_n^{\prime },u_1^{\prime },u_2^{\prime },\cdots ,u_m^{\prime }\}$$
其中 $u_i^{\prime }=\{g_{i1}^{\prime },g_{i2}^{\prime },\cdots ,g_{is}^{\prime }\}$ 表示分成的若干个子游戏。定义 $SG(u_i^{\prime })=\oplus \{{\oplus }_{t=1}^{s}SG(g_{it}^{\prime })\}$ ，则有 MULTI-SG 下的 SG 值计算式：

$$SG(g)=mex(\{SG(x)|x\in F(g)\})$$

如此 MULTI-SG 也可也视为一般的 SG 问题求解，从而规约到 NIM Game 上。

如果是 MULTI-ANTI-NIM 问题，只要先用 MULTI-SG 计算每个局面的 SG 值，再使用 SJ 定理给出答案即可。

异常边界：一个子游戏获胜就获胜

在一些问题中，可能会有一些SG的变形形式，改变游戏的终止条件(ANTI-NIM也可也视为一种异常边界的情形)。这时我们要手动对边界进行调整，直到所有的边界状态都成为必败态，这样就可以直接使用 SG 定理求解。

以题目 Cutting Game 为例：给一个 $n\times m$ 的方格纸，两人轮流沿着坐标轴和网格线切，每次切成两块(类似于MULTI-NIM)，最先切出 $1\times 1$ 的小方格的玩家获胜。

因为边界条件发生变化，难以直接求解每个子局面的 SG 值，所以考虑修改边界。因为只要出现一个 $1\times 1$ 就立刻获胜，意味着 $n\times 1(n>1)$ 一定是一个必败态，取 $SG=0$ ，在此基础上递推计算 SG 值即可。

一些常见的非典型单游戏组合博弈形式举例

阶梯博弈

阶梯博弈指，有一个台阶，每个台阶上有一些石子，每次可以将任意个石子从任意台阶上往下挪一格，如Georgia and Bob，没有操作可行者判负。假设最低一层是第1层，则该问题等价于每堆奇数阶上的石子的游戏和，即一个所有奇数阶石子构成的 NIM Game。证明可以参考 我谈阶梯博弈 ，此处不多做展开。

威佐夫博弈

Wythoff Game 指有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

看上去像一个游戏和模型，但是事实上因为可以同时从两堆中取，破坏了子游戏的独立性，所以不能使用游戏和的模型求解。在这里我们考虑 Betty 数列的模型，构造奇异局势，来实现告诉判定，具体细节可以参阅 博弈论——两人取子游戏与威佐夫博弈，隐藏在背后的黄金分割。

结语

本文列举了组合博弈中一些常见的模型，以及其对应的解法，限于篇幅限制，不能全部展示，读者可以自行阅读 从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题，组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形 等论文自行了解。此外，出于光学不练假把式的思想，笔者归纳了一套题库，并分别打上了 TAG，其解法在本文中大多有题及，读者可以自行查阅。

习题

引用

SG函数是怎么想出来的
博弈论 | 详解搞定组合博弈问题的SG函数
博弈:关于SG函数的一些心得
从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题
NIM积解法小结
组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形
我谈阶梯博弈